[math]((x\sqrt2)/8-1-\sqrt2/4):\sqrt2/{x-2}+(1+1/x):(\sqrt2+1)^2/x=0[/math]
Svolgiamo le operazioni nelle parentesi tonde:
[math]((x\sqrt2-8-2\sqrt2)/8) \cdot {x-2}/\sqrt2+(x+1)/x \cdot x/(\sqrt2+1)^2=0[/math]
Moltiplichiamo:
[math](x\sqrt2-8-2\sqrt2) \cdot {x-2}/8 \cdot \sqrt2+(x+1)/(\sqrt2+1)^2=0[/math]
[math](srqtx^2-2\sqrt2x-8x+16-2\sqrt2x+4\sqrt2)/8\sqrt2+{x+1}/(\sqrt2+1)^2=0[/math]
calcoliamo il m.c.m.
[math](srqtx^2-2\sqrt2x-8x+16-2\sqrt2x+4\sqrt2) \cdot {\sqrt2+1}^2+(8\sqrt2) \cdot (x+1)/(8\sqrt2) \cdot {\sqrt2+1}^2=0[/math]
Moltiplichiamo entrambi i membri per
[math](8\sqrt2) \cdot {\sqrt2+1}^2[/math]
e togliamo il denominatore:[math](8\sqrt2) \cdot {\sqrt2+1}^2 \cdot (srqtx^2-2\sqrt2x-8x+16-2\sqrt2x+4\sqrt2) \cdot {\sqrt2+1}^2+(8\sqrt2) \cdot (x+1)/(8\sqrt2) \cdot {\sqrt2+1}^2=(8\sqrt2) \cdot {\sqrt2+1}^2 \cdot 0[/math]
[math](\sqrtx^2-2\sqrt2x-8x+16-2\sqrt2x+4\sqrt2) \cdot {\sqrt2+1}^2+(8\sqrt2) \cdot (x+1)=0[/math]
Calcoliamo il quadrato e svolgiamo le moltiplicazioni:
[math](\sqrtx^2-2\sqrt2x-8x+16-2\sqrt2x+4\sqrt2) \cdot {2+1+2\sqrt2}+(8\sqrt2) \cdot (x+1)=0[/math]
[math](\sqrtx^2-2\sqrt2x-8x+16-2\sqrt2x+4\sqrt2) \cdot {3+2\sqrt2}+(8\sqrt2) \cdot (x+1)=0[/math]
[math]3\sqrt2x^2-12\sqrt2x-24x+48+12\sqrt2+4x^2-16x-16\sqrt2x+32\sqrt2+16+8\sqrt2x+8\sqrt2=0[/math]
[math]3\sqrt2x^2+4x^2-20\sqrt2x-40x+52\sqrt2+64=0[/math]
Effettuiamo ilraccoglimento parziale:
[math](3\sqrt2+4)x^2+{-20\sqrt2-40}x+52\sqrt2+64=0[/math]
Possiamo scomporre questo polinomio come se fosse un'equazione trinomia completa, della forma
[math]ax^2+bx+c=0[/math]
, dove [math]a=3\sqrt2+4[/math]
, [math]b=-20\sqrt2-40[/math]
e [math]c=52\sqrt2+64[/math]
.[math]x=(-(-20\sqrt2-40)\\pm\sqrt{(-20\sqrt2-40)^2-4 \cdot (3\sqrt2+4) \cdot (52\sqrt2+64)})/(2(3\sqrt2+4))=[/math]
[math]x=(20\sqrt2+40)\\pm\sqrt{(800+1600+1600\sqrt2-1248-768\sqrt2-832\sqrt2-1024)}/(2(3\sqrt2+4))=[/math]
[math]x=(20\sqrt2+40)\\pm\sqrt{128}/(2(3\sqrt2+4))=[/math]
128 si può scomporre come
[math]2^6 \cdot 2[/math]
, quindi come [math]8^2 \cdot 2[/math]
.Possiamo trasportare fuori radice 8.
[math]x=(20\sqrt2+40)\\pm8\sqrt2/{2(3\sqrt2+4)}=[/math]
[math]x1=(20\sqrt2+40+8\sqrt2)/{2(3\sqrt2+4)}=(28\sqrt2+40)/{2(3\sqrt2+4)}=[/math]
[math](4(7\sqrt2+10))/{2(3\sqrt2+4)}=(2(7\sqrt2+10))/(3\sqrt2+4)[/math]
Razionalizziamo:
[math](2(7\sqrt2+10))/{3\sqrt2+4} \cdot (3\sqrt2-4)/(3\sqrt2-4)=[/math]
[math](2(7\sqrt2+10) \cdot {3\sqrt2-4})/((3\sqrt2+4) \cdot {3\sqrt2-4})=[/math]
[math](84+60\sqrt2-80-56\sqrt2)/{18-16}=[/math]
[math](4+4\sqrt2)/2=[/math]
[math]2(2+2\sqrt2)/2=2+2\sqrt2[/math]
[math]x2=(20\sqrt2+40-8\sqrt2)/{2(3\sqrt2+4)}=(12\sqrt2+40)/{2(3\sqrt2+4)}=[/math]
[math](4(3\sqrt2+10)/{2(3\sqrt2+4)}=(2(3\sqrt2+10)/(3\sqrt2+4)=[/math]
Razionalizziamo:
[math](2(3\sqrt2+10)/{3\sqrt2+4} \cdot (3\sqrt2-4)/(3\sqrt2-4)=[/math]
[math](2(3\sqrt2+10) \cdot {3\sqrt2-4})/((3\sqrt2+4) \cdot {3\sqrt2-4})=[/math]
[math](36-24\sqrt2+60\sqrt2-80)/{18-16}=[/math]
[math](36\sqrt2-44)/2=[/math]
[math](2(18\sqrt2-22))/2=18\sqrt2-22[/math]
