È vero che per ogni $x$ naturale il numero $ x (x^4 – 1)$ è divisibile per $30$? Dimostralo in generale.

È vero che per ogni   $x$  naturale il numero $ x (x^4 – 1)$  è divisibile per  $30$?

Dimostralo in generale.

Svolgimento

$ x (x^4 – 1)$

Cominciamo scomponendo in fattori:

$ x (x^2 – 1)(x^2 + 1)$

$ x (x – 1)(x + 1)(x^2 + 1)$

Ordiniamo la scrittura in ordine crescente:

$ (x – 1) x (x + 1)(x^2 + 1)$

Un numero divisibile per  $30$  deve essere divisibile per  $ 2 * 3 * 5$ .

Notiamo che i primi tre termini sella scomposizione sono il prodotto di tre numeri consecutivi  $ (x – 1) x (x + 1) $ ; sappiamo, quindi, che sicuramente vi sarà sicuramente un multiplo di due, poiché almeno un termine è pari, e un multiplo di tre.

Per quanto riguarda l’ultimo termine, $(x^2 + 1)$  , essendo la somma di due quadrati, non sempre sarà un multiplo di cinque, ma solo in alcuni casi, per esempio per  $ x = 2$ , $x = 3$, $x = 7$ , $x = 8 $

In tutti gli altri casi, questo termine non è divisibile per $5$, ma lo sono gli altri:

$ x = 4     to    x + 1 = 5$

$ x = 6     to    x – 1 = 5$

$ x = 9     to    x + 1 = 10$

In ogni caso, quindi, abbiamo che almeno un termine è divisibile per  $2$, almeno uno è divisibile per  $3$ e almeno uno lo è per  $5$.

 

 

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