È vero che per ogni $x$ naturale il numero $ x (x^4 – 1)$ è divisibile per $30$? Dimostralo in generale.
È vero che per ogni $x$ naturale il numero $ x (x^4 – 1)$ è divisibile per $30$?
Dimostralo in generale.
Svolgimento
$ x (x^4 – 1)$
Cominciamo scomponendo in fattori:
$ x (x^2 – 1)(x^2 + 1)$
$ x (x – 1)(x + 1)(x^2 + 1)$
Ordiniamo la scrittura in ordine crescente:
$ (x – 1) x (x + 1)(x^2 + 1)$
Un numero divisibile per $30$ deve essere divisibile per $ 2 * 3 * 5$ .
Notiamo che i primi tre termini sella scomposizione sono il prodotto di tre numeri consecutivi $ (x – 1) x (x + 1) $ ; sappiamo, quindi, che sicuramente vi sarà sicuramente un multiplo di due, poiché almeno un termine è pari, e un multiplo di tre.
Per quanto riguarda l’ultimo termine, $(x^2 + 1)$ , essendo la somma di due quadrati, non sempre sarà un multiplo di cinque, ma solo in alcuni casi, per esempio per $ x = 2$ , $x = 3$, $x = 7$ , $x = 8 $
In tutti gli altri casi, questo termine non è divisibile per $5$, ma lo sono gli altri:
$ x = 4 to x + 1 = 5$
$ x = 6 to x – 1 = 5$
$ x = 9 to x + 1 = 10$
In ogni caso, quindi, abbiamo che almeno un termine è divisibile per $2$, almeno uno è divisibile per $3$ e almeno uno lo è per $5$.