Si risolva il seguente sistema di equazioni letterali
[math]\begin{cases} a/bx+b/ay=a+b \\ a/by+b/ax=a+b \ \end{cases}[/math]
[math]a,b!=0[/math]
Salta subito all'occhio che i secondi membri delle equazioni sono uguali, perciò possiamo tentare la strada del confronto tra primi membri.
Eseguendolo, otteniamo
[math]a/bx+b/ay=a/by+b/ax[/math]
Possiamo a questo punto calcolare il minimo comune multiplo, e procedere come segue
[math]frac{a^2x+b^2y}{ab}=frac{b^2x+a^2y}{ab}[/math]
Eliminando i denominatori
[math]a^2x+b^2y=b^2x+a^2y[/math]
Portando da un parte tutti i termini con la
[math]x[/math]
e dall'alta quelli con la [math]y[/math]
avremo
[math]a^2x-b^2x=a^2y-b^2y[/math]
Raccogliendo al primo membro
[math]x[/math]
e al secondo [math]y[/math]
avremo
[math]x(a^2-b^2)=y(a^2-b^2)[/math]
Semplificando la parentesi, si ottiene
[math]x=y[/math]
ponendo la condizione opportuna
[math]a^2-b^2!=0[/math]
Questa informazione possiamo usarla inserendola in un'equazione originaria, ad esempio
[math]a/bx+b/ay=a+b[/math]
siccome
[math]x=y[/math]
otteniamo
[math]a/bx+b/ax=a+b[/math]
ovvero
[math]frac{a^2x+b^2x}{ab}=frac{ab(a+b)}{ab}[/math]
togliendo i denominatori
[math]a^2x+b^2x=ab(a+b)[/math]
raccogliendo
[math]x[/math]
[math]x(a^2+b^2)=ab(a+b)[/math]
[math]x=frac{ab(a+b)}{a^2+b^2}[/math]
L'incognita
[math]y[/math]
avrà lo stesso valore della [math]x[/math]
poichè abbiamo trovato prima che
[math]x=y[/math]
FINE