Studiare la funzione seguente
[math]f(x)=\\log_3(\\cosx+2)[/math]
1)Dominio
La funzione coseno è continua e il suo dominio è l'asse reale, mentre il logaritmo necessita di argomento positivo strettamente
[math]\\cosx+2>0[/math]
[math]\\cosx> -2 \\Rightarrow \forall x in RR[/math]
Infatti il coseno assume valori compresi tra
[math]-1[/math]
e [math]1[/math]
, quindi in ogni caso maggiori di [math]-2[/math]
2)Intersezioni con l'asse
[math]x[/math]
e succesivamente con l'asse [math]y[/math]
Per il primo si ha
[math]\begin{cases} y=0 \\ y=\\log_3(\\cosx+2) \ \end{cases}[/math]
ovvero
[math]\\log_3(\\cosx+2)=0[/math]
cioè, poichè la funzione logaritmo è nulla se il proprio argomento assume valore 1,
[math]\\cosx+2=1[/math]
[math]\\cosx=-1[/math]
[math]<=>[/math]
[math]x=\pi+2k\pi[/math]
Per quanto riguarda 'intersezione con l'asse
[math]y[/math]
si ha
[math]\begin{cases} x=0 \\ y=\\log_3(\\cosx+2) \ \end{cases}[/math]
[math]\\log_3(\\cos0+2)=\\log_3 3=1[/math]
pertanto il punto cercato ha coordinate
[math](0,1)[/math]
3)Positività :
[math] \\log_3(\\cosx+2)>0[/math]
implica che
[math]\\cosx> -1[/math]
[math]->[/math]
[math] AAx in RR-{\pi+2k\pi}[/math]
4)Non ci sono asintoti verticali, orizzontali od obliqui
5) Crescenza e decrescenza:
Studiamo il segno della derivata prima
[math]y'=1/ln3 \cdot (-senx)/(\\cosx+2)[/math]
Quindi
[math]y'>0[/math]
[math]->[/math]
[math]-senx>0[/math]
[math]->[/math]
[math]senx<0[/math]
[math]<=>[/math]
[math]\pi+2k\pi<x<2\pi+2k\pi[/math]
da cui [math](\pi+2k\pi,0)[/math]
sono minimi e [math](2\pi+2k\pi,1)[/math]
sono massimi.
[math]\\cosx+2[/math]
è stato trascuarato durante lo studio del segno in quanto strettamente positivo. 6)Flessi:
[math]y''=-1/ln3 \cdot (\\cosx(\\cosx+2)-senx \cdot (-senx))/(\\cosx+2)^2=-1/ln3 \cdot (1+2\\cosx)/(\\cosx+2)^2[/math]
. Ora
[math]y''=0[/math]
solo se
[math]\\cosx=-1/2[/math]
che restituisce
[math]x=+-(2\pi)/3+2k\pi[/math]
che sono punti di flesso
FINE
