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In vista dell'esame di stato di matematica per il liceo scientifico di ordinamento e PNI un tema svolto sullo studio di una funzione razionale fratta e il calcolo di aree.
Pubblicazione del 3-05-2009
http://www.matematicaescuola.it/Analisi/Studi%20di%20funzioni/Funzione_razionale_fratta_03_calcolo_aree.pdf
= − − = − + =
x ' 2 3 , x '' 2 3 , . Inoltre
Gli zeri della derivata seconda sono: x ''' 1
risulta > − − < < − +
f ''( x ) 0 , per i valori reali della variabile tali che 2 3 x 2 3 oppure
> ;
x 1 <
f ''( x ) 0
negli altri punti del dominio risulta .
Conclusione >
f ''( x ) 0
La funzione è convessa, cioè volge la concavità verso l’alto, dove , è
<
f ''( x ) 0
concava, cioè volge la concavità verso il basso, dove ed ammette tre punti
= − − = − + =
di flesso le cui ascisse sono x ' 2 3 , x '' 2 3 , . Le ordinate dei punti
x ''' 1
di flesso sono − +
( ) ( )
1 3 1 3 ( )
− − = − + = =
f 2 3 , f 2 3 , .
f 1 1
4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ −
1 3 1 3
( ) − + − −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
,
Poniamo ,
F 2 3; F 2 3;
F 1;1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
1 2 3
4 4
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Il diagramma della funzione è rappresentato di seguito.
Nello studio della funzione abbiamo già riscontrato che il diagramma ammette i tre punti di
2. flesso F , F , F , dei quali sono state anche determinate le coordinate. Per dimostrare che
1 2 3
sono allineati si deve verificare che sussiste la seguente uguaglianza
− −
y y y y
=
F F F F
2 3 1 2
− −
x x x x
F F F F
2 3 1 2
Ebbene, si ha + −
1 3 1 3
−
−
y y 2 3 1
4 4 =
=
=
F F ( )
2 3
− ⋅
− + − − − 4
x x 4 2 3
2 3 2 3
F F
2 3 +
1 3
−
1
− −
y y 3 3 1
4
= =
=
F F C.V.D.
( )
( )
1 2
− − − + − 4
x x 1 2 3 4 3 3
F F
1 2
Ricordiamo che l’equazione della retta tangente al diagramma di una funzione nel punto
3. ( ) , nell’ipotesi che la funzione sia derivabile in x , è
; ( )
x f x
0 0 0
− = ⋅ −
t : y f ( x ) f '( x ) ( x x ) ; nel nostro caso l’ipotesi è soddisfatta, per cui l’equazione
0 0 0 è:
della retta tangente nel punto di flesso F
1 Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it 2
