Studiare la seguente funzione, determinandone il dominio, i punti di intersezione con gli assi, eventuali punti di massimo e minimo, e punti di flesso; verificare la presenza di asintoti, e tracciare il grafico approssimativo. $ f(x) = arcsin(frac(x+1)(x-1)) $

La funzione in questione è una funzione trigonometrica, e in particolare è la funzione inversa della funzione seno. In questo caso, sapendo che il seno di un angolo è sempre un valore compreso tra -1 e 1, possiamo imporre che:

$ -1 <= frac(x+1)(x-1) <= 1 $

Per poter risolvere questa disequaizone dobbiamo imporre un sistema:

$ {(frac(x+1)(x-1) <= 1),(frac(x+1)(x-1) >= -1):} $

Ovvero:

${(frac(x+1 – x + 1)(x-1) <= 0),(frac(x+1+ x – 1 )(x-1) >= 0):}$

${(frac(2)(x-1) <= 0),(frac(2x)(x-1) >= 0):}$

Risolvendo le due disequazioni si ottiene il seguente sistema:

$ {(x <=1),(x <= 0 V x > 1):} $

Le soluzioni del sistema sono rappresentate dal seguente intervallo $ ( -oo ; 0 ] $, che rappresenta il dominio della funzione.

Determiniamo ora i punti di intersezione con gli assi:

$ f(x) _|_ (x = 0) $

$ f(0) = arcsin(frac(0+1)(0-1)) = arcsin(-1) = – π/2 $

Il punto individuato è $ ( 0 ; -π/2 ) $.

$ f(x) _|_ (y = 0) $

$ f(x) = 0 to arcsin(frac(x+1)(x-1)) = 0 $

$ frac(x+1)(x-1) = 0 to x + 1 = 0 to x = – 1 $

Otteniamo il punto $ ( -1 ; 0 ) $.

Verifichiamo se la funzione è pari o dispari:

$ f(-x) = arcsin(frac(-x+1)(-x-1)) $

La funzione quindi non è ne pari ne dispari.

Passiamo ora alla ricerca degli asintoti; dobbiamo determinare i limiti della funzione, in questo caso il limite a $-oo$:

$ lim_(x to -oo) arcsin(frac(x+1)(x-1)) $

Non vi sono in questo limite forme di indecisione, in quanto la frazione che è argomento del’arcoseno presenta numeratore e denominatore dello stesso grado; si ha quindi:

$ lim_(x to -oo) arcsin(frac(x+1)(x-1)) = arcsin(1) = π/2 $

Ha come asintoto orizzontale la retta di equazione $ y = π/2$.

Studiamo ora il comportamento della derivata prima della funzione:

$ f’(x) = frac(1)(sqrt(1 – (frac(x+1)(x-1))^2) ) = frac(1)(sqrt(1 – frac((x+1)^2)((x-1)^2)) ) = $

$ frac(1)(sqrt(frac( (x-1)^2 – (x+1)^2)((x-1)^2)) ) = frac( | x – 1| )(sqrt( (x-1)^2 – (x+1)^2) ) =$

$ frac( | x – 1| )(sqrt( x^2 + 1 – 2x – x^2 – 1 – 2x) ) = frac( | x – 1| )(sqrt(- 4x) ) $

Poiché la funzione è definita per $x < 0$, e sapendo che $| x – 1| = x – 1 se x >= 1 $
$| x – 1| = – x + 1 se x < 1$ Possiamo scrivere la derivata prima in questo modo: $ f’(x) = frac( 1 – x )(sqrt(- 4x) ) $ Troviamo i punti in cui la deriva prima si annulla: $ f’(x) = 0 to frac( 1 – x )(sqrt(- 4x) ) = 0 $ $ 1 – x = 0 to x = 1 $ Tale punto, però, non appartiene al dominio della funzione; studiamo il segno della derivata prima: $ f’(x) > 0 to frac( 1 – x )(sqrt(- 4x) ) > 0 $
$ 1 – x > 0 $
$ sqrt(- 4x) > 0 $

Dallo studio del segno si ottengono i seguenti intervallo: $ ( 0; +oo ) $; tale intervallo non appartiene al dominio della funzione e quindi, poiché la derivata prima è negativa nei punti del dominio, sappiamo che la funzione sarà decrescente in tutto il dominio.

Possiamo procedere rappresentando il grafico approssimativo della funzione:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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