Studiare la seguente funzione, determinandone il dominio, i punti di intersezione con gli assi, eventuali punti di massimo e minimo, e punti di flesso; verificare la presenza di asintoti, e tracciare il grafico approssimativo. $ f(x) = x^2 [ log(x/4) – 1]^2 $

Nel caso di funzioni logaritmiche, sappiamo che il dominio corrisponde all’insieme dei numeri reali per i quali l’argomento del logaritmo è positivo:

$ x/4 > 0 to x > 0$

Per cui:

$ D = ( 0 ; +oo)$.

Determiniamo ora i punti di intersezione con l’asse x (con l’asse y non vi sono punti di intersezione, perché i punti per cui x = 0 sono esclusi dal dominio):

$ f(x) _|_ (y = 0) $

$ f(x) = 0 to x^2 [ log(x/4) – 1]^2 = 0 $

$log(x/4) – 1 to log(x/4) = 1 to x/4 = e^1$

$ x/4 = e to x = 4e $

Il punto individuato è $ ( 4e ; 0 ) $.

Quindi la funzione ha un punto di intersezione con l’asse x.

Passiamo ora alla ricerca degli asintoti; dobbiamo determinare i limiti della funzione, cominciamo in questo caso dal limite a $+oo$:

$ lim_(x to oo) x^2 [ log(x/4) – 1]^2 $

Non vi sono in questo limite forme di indecisione, e il valore può essere calcolato facilmente:

$ lim_(x to oo) x^2 [ log(x/4) – 1]^2 = +oo $

La funzione, quindi, non presenta asintoti orizzontali.

Cerchiamo la presenza di eventuali asintoti obliqui:

$ m = lim_(x to oo) frac(f(x))(x) = lim_(x to oo) x [ log(x/4) – 1]^2 = +oo $

Quindi non sono presenti neanche asintoti obliqui.
Studiamo ora il comportamento della funzione quando si avvicina al punto $(0;0)$ (da destra):

$ lim_(x to 0^+) f(x) = lim_(x to 0^+) [ frac(log(x/4) – 1)(x^(-1))]^2 = 0 $

Cerchiamo ora eventuali punti di massimo o minimo; calcoliamo la derivata prima della funzione:

$ f’(x) = 2x (log(x/4) – 1)^2 + x^2 (log(x/4) – 1) * 4/x * 1/4 = (log(x/4) – 1) (2x log(x/4) – 2x + 2x) =$
$ 2x log(x/4) (log(x/4) – 1)$

Troviamo i punti in cui la deriva prima si annulla:

$ f’(x) = 0 to 2x log(x/4) (log(x/4) – 1) = 0 to log(x/4) – 1 = 0 $
$ log(x/4) = 1 to x/4 = e to x = 4e $

Studiamo il segno della derivata prima:

$ f’(x) > 0 to 2x log(x/4) (log(x/4) – 1) > 0 $
$ x > 0 $
$ log(x/4) > 0 to x/4 > 1 to x > 4 $
$ log(x/4) – 1 > 0 to log(x/4) > 1 x/4 > e to x > 4e $

Dallo studio del segno si ottiene: $ ( 0 , 4 ) U ( 4e , +oo) $; la funzione, quindi, è crescente in tale intervallo; nell’intervallo $ ( 4 , 4e )$ la funzione sarà decrescente.
Notiamo, quindi, che il punto $ ( 4e , 0 )$ è un punto di minimo per la funzione.

In questo caso, lo studio della derivata seconda si rileva troppo complesso; possiamo comunque procedere rappresentando il grafico approssimativo della funzione:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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