{etRating 2}
Si calcoli
[math]lim_(x->1)(x^2+|x-1|-1)/(x-1)[/math]
Vediamo che innanzitutto, procedendo per sostituzione
[math]lim_(x->1)(x^2+|x-1|-1)/(x-1)=0/0[/math]
si ottiene una forma indeterminata.
Vediamo che è presente un valore assoluto con argomento
[math]x-1[/math]
Discutiamolo, supponenedo prima che
[math]x[/math]
tenda a [math]1[/math]
da sinistra, ovvero [math]x->1^-[/math]
Si ha a questo punto
[math]x-1<0[/math]
, quindi [math]|x-1|=-x+1[/math]
. In questo caso:
[math]lim_(x o 1^-)(x^2-x+1-1)/(x-1)=lim_(x o 1^-)(x(x-1))/(x-1)=lim_(x o 1^-)x=1[/math]
. I calcoli sono abbastanza semplici.
Ora immaginiamo che
[math]x[/math]
tenda a [math]1[/math]
da destra, quindi [math]x->1^+[/math]
quindi si ha che
[math]x-1>0[/math]
e
[math]|x-1|=x-1[/math]
Procediamo:
[math]lim_(x o 1^+)(x^2+x-1-1)/(x-1)=lim_(x o 1^+)(x^2+x-2)/(x-1)[/math]
. Scomponendo in fattori il numeratore, ottieniamo:
[math]lim_(x o 1^+)(x^2+x-2)/(x-1)=lim_(x o 1^+)((x-1)(x+2))/(x-1)=lim_(x o 1^+)x+2=3[/math]
.
Dato che i limiti "da sinistra" e "da destra" sono diversi, il limite per
[math]x->1[/math]
non esiste.
Possiamo dire che la funzione è discontinua in
[math]1[/math]
, e la discontinuita è del tipo "con salto", prima specie.
FINE
