Studiare la seguente funzione, determinandone il dominio, i punti di intersezione con gli assi, eventuali punti di massimo e minimo, e punti di flesso; verificare la presenza di asintoti, e tracciare il grafico approssimativo. $ f(x) = |x+1| + x + log(frac(2x+1)(x-1)) $

Cominciamo lo studio di funzione determinando il dominio della funzione; poiché è presente una funzione logaritmica, dobbiamo imporre che il suo argomento sia maggiore di zero:

$frac(2x+1)(x-1) > 0$

$2x +1 > 0$

$x-1 > 0$

Dallo studio del segno si ottengono i seguenti intervalli: $ x<-1/2 vee x > 1 $

Quindi abbiamo:

$ D = (-oo ; -1/2) uu (1 ; +oo) $.

In questo caso, quindi, la funzione non presenta nessuna intersezione con gli assi, in quanto tutti i punti possibili sono comunque esclusi dal dominio.

Verifichiamo se la funzione è pari o dispari:

$ f(-x) = |-x+1| – x + log(frac(-2x+1)(-x-1)) $

La funzione quindi non è ne pari ne dispari.

Passiamo alla ricerca degli asintoti; dobbiamo determinare i limiti della funzione, cominciamo dal limite a $+oo$:

$ lim_(x to +oo) |x+1| + x + log(frac(2x+1)(x-1)) $

In questo intorno, possiamo assumere che $ |x+1| = x + 1$, quindi:

$ lim_(x to +oo) |x+1| + x + log(frac(2x+1)(x-1)) = $

$lim_(x to +oo) x+1 + x + log(frac(2x+1)(x-1)) =$

$lim_(x to +oo) 2x + 1 + log(frac(2x+1)(x-1)) = +oo $

La funzione, quindi, non presenta asintoti orizzontali destri.

Studiamo il comportamento a $- oo$ ; in questo caso si avrà $ |x+1| = – x – 1$:

$ lim_(x to -oo) |x+1| + x + log(frac(2x+1)(x-1)) = $

$lim_(x to -oo) -x-1 + x + log(frac(2x+1)(x-1)) =$

$ lim_(x to -oo) – 1 + log(frac(2x+1)(x-1)) = log(2) – 1 $

Di conseguenza, la retta di equazione $y = log(2) – 1$ è un asintoto orizzontale sinistro per la funzione.

Poiché la funzione presenta solo un asintoto orizzontale sinistro, “a destra” potrebbe essere presente un asintoto obliquo; in tal caso, il coefficiente angolare di tale asintoto è dato da un valore finito di tale limite:

$ m = lim_(x to +oo) frac(f(x))(x) = lim_(x to +oo) 2 + 1/x + frac(log(frac(2x+1)(x-1)))(x) = 2$

Avendo ottenuto un valore finito per $m$, cerchiamo un eventuale $q$:

$ q = lim_(x to +oo) [f(x) – mx] = $

$lim_(x to +oo) 2x + 1 + log(frac(2x+1)(x-1)) – 2x = 1 + log(2) $

Possiamo concludere, quindi, che la retta $ y = 2x + 1 + log(2)$ è un asintoto obliquo destro per la funzione.

Vediamo ora cosa accade quando la funzione si avvicina ai punti che sono esclusi dal dominio; in particolare, risolviamo i seguenti limiti:

$ lim_(x to -1/2 ^-) |x+1| + x + log(frac(2x+1)(x-1)) = $

$lim_(x to -1/2 ^-) x+1 + x + log(frac(2x+1)(x-1)) =$

$ lim_(x to -1/2 ^-) 2x + 1 + log(frac(2x+1)(x-1)) = -oo $

La retta $ x = -1/2$ è quindi asintoto verticale per la funzione.

$ lim_(x to 1^+) |x+1| + x + log(frac(2x+1)(x-1)) = $

$lim_(x to 1^+) x+1 + x + log(frac(2x+1)(x-1)) =$

$lim_(x to 1^+) 2x + 1 + log(frac(2x+1)(x-1)) = +oo $

Anche la retta $ x = 1$ è asintoto verticale per la funzione.

Cerchiamo eventuali punti di massimo o minimo studiando la derivata prima; distendiamo i casi $x > -1$ e $x < – 1$; nel primo caso si ha:

$ f’(x) = 2 + frac(x-1)(2x+1) * frac(2(x-1) – 2x – 1)((x-1)^2) = $

$2 – frac(3)((2x+1)(x-1)) = $ $ frac(4x^2 – 2x – 5)( (2x+1)(x-1) ) $

Troviamo i punti in cui la deriva prima si annulla:

$ f’(x) = 0 to frac(4x^2 – 2x – 5)( (2x+1)(x-1) ) = 0 $

$ 4x^2 – 2x – 5 = 0 to x = frac(1+sqrt(21))(4) vee x = frac(1-sqrt(21))(4) $

Studiamo il segno della derivata prima:

$ f’(x) > 0 to frac(4x^2 – 2x – 5)( (2x+1)(x-1) ) > 0 $

$ 4x^2 – 2x – 5 > 0 $

$ (2x+1)(x-1) > 0 $

Dallo studio del segno e tenendo conto che siamo nel caso in cui $x > -1 $ otteniamo i seguenti intervalli: $ ( – 1 , frac(1-sqrt(21))(4) ) uu ( frac(1+sqrt(21))(4) ; +oo ) $; la funzione, quindi, è crescente in tali intervalli.

Notiamo, quindi, che il punto individuato da $ x = frac(1+sqrt(21))(4) $ è un punto di minimo relativo per la funzione, mentre il punto individuato da $ x = frac(1-sqrt(21))(4) $ è un punto di massimo relativo per la funzione.

Passiamo ora al caso $ x < – 1$:

$ f’(x) = frac(x-1)(2x+1) * frac(2(x-1) – 2x – 1)((x-1)^2) = frac(3)((2x+1)(x-1)) $

Troviamo i punti in cui la deriva prima si annulla:

$ f’(x) = 0 to frac(3)((2x+1)(x-1)) = 0 $

In questo caso la derivata prima non si annulla in nessun punto; dallo studio del segno si trova il seguente intervallo: $ (-1/2 , 1) $

Quindi, nell’intervallo che stiamo considerando, la derivata sarà sempre negativa, di conseguenza la funzione sarà decrescente nell’intervallo  $ x < – 1$.

In questo caso, il calcolo della derivata seconda si rivela troppo complesso; possiamo comunque tracciare il grafico approssimativo della funzione:

Nell’intervallo $ (-oo ; 0) $ si avrà un grafico di questo tipo:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mentre nell’intervallo $ ( 0 ; +oo ) $ si avrà un grafico di questo tipo:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Potrebbe interessarti anche

Commenti

commenti