Studiare la seguente funzione, determinandone il dominio, i punti di intersezione con gli assi, eventuali punti di massimo e minimo, e punti di flesso; verificare la presenza di asintoti, e tracciare il grafico approssimativo. $ f(x) = frac(e^(-x^2))(x + 2) $

La funzione può essere scritta anche nel modo seguente:

$ f(x) = frac(1)( e^(x^2) (x + 2)) $

Nel caso di funzioni fratte, dobbiamo escludere dal dominio i valori che annullano il denominatore; in questo caso:

$ e^(x^2) (x + 2) = 0 to x + 2 = 0 to x = – 2$

Quindi il dominio sarà l’insieme dei numeri reali eccetto il numero -2:

$ D = R – {-2} $.

Determiniamo ora i punti di intersezione con gli assi:

$ f(x) _|_  (x = 0) $

$ f(0) = frac(1)( e^(0^2) (0 + 2)) =1/2 $

Il punto individuato è $ ( 0 ; 1/2 ) $.

Quindi la funzione ha un punto di intersezione con l’asse y.

$ f(x) _|_ y = 0$

$ f(x) = 0 to frac(1)( e^(x^2) (x + 2)) = 0 $

Dato che l’uguaglianza non può essere verificata per nessun valore di x, concludiamo che la funzione non presenta punti di intersezione con l’asse x.

Verifichiamo se la funzione è pari o dispari:

$ f(-x) = frac(1)( e^((-x)^2) (-x + 2)) = frac(1)( e^(x^2) (-x + 2)) $

La funzione quindi non è ne pari ne dispari.

Cerchiamo gli intervalli in cui la funzione è positiva:

$ f(x) > 0 to frac(1)( e^(x^2) (x + 2)) > 0 to e^(x^2) (x + 2) > 0 $

$ x + 2 > 0 to x > – 2 $

La funzione è positiva nel seguente intervallo: $ ( -2 ; +oo ) $.

Passiamo ora alla ricerca degli asintoti; dobbiamo determinare i limiti della funzione, cominciamo in questo caso dal limite a $oo$:

$ lim_(x to oo) frac(1)( e^(x^2) (x + 2)) $

Non vi sono in questo limite forme di indecisione, e il valore può essere calcolato facilmente:

$ lim_(x to oo) frac(1)( e^(x^2) (x + 2)) = 0 $

La funzione, quindi, ha come asintoto orizzontale (destro e sinistro) la retta di equazione $y = 0$ .

Poiché la funzione non è definita in $x = -2$, verifichiamo se in tale punto è presente un asintoto verticale calcolando i seguenti limiti:

$ lim_(x to -2^+) frac(1)( e^(x^2) (x + 2)) , lim_(x to -2^-) frac(1)( e^(x^2) (x + 2)) $

I limiti destro e sinistro assumono i seguenti valori:

$ lim_(x to -2^+) frac(1)( e^(x^2) (x + 2)) = + oo $

$ lim_(x to -2^-) frac(1)( e^(x^2) (x + 2)) = – oo $

Quindi, la retta $ x = – 2$ è asintoto verticale (destro e sinistro) per la funzione.

Cerchiamo ora eventuali punti di massimo o minimo; calcoliamo la derivata prima della funzione:

$ f’(x) = – frac(e^(x^2) * 2x(x + 2) + e^(x^2) )( e^(2x^2)(x+2)^2 ) = – frac( 2x^2 + 4x + 1)( e^(x^2)(x+2)^2 ) $

Troviamo i punti in cui la derivata prima si annulla:

$ f’(x) = 0 to – frac( 2x^2 + 4x + 1)( e^(x^2)(x+2)^2 ) = 0 $

$ 2x^2 + 4x + 1 = 0 to x = -1 + frac(sqrt2)(2) V x = -1 – frac(sqrt2)(2) $

Studiamo il segno della derivata prima:

$ f’(x) > 0 to – frac( 2x^2 + 4x + 1)( e^(x^2)(x+2)^2 ) > 0 $

$ – (2x^2 + 4x + 1) > 0 $

$ e^(x^2) > 0 $

$ (x+2)^2 > 0 $

Dallo studio del segno si ottiene l’intervallo: $ ( -1 – frac(sqrt2)(2) , -1 + frac(sqrt2)(2) ) $; la funzione, quindi, è crescente in tale intervallo.
Notiamo, quindi, che il punto individuato da $ x = -1 – frac(sqrt2)(2) $ è un punto di minimo relativo per la funzione, mentre il punto individuato da $ x = -1 + frac(sqrt2)(2) $ è un punto di massimo relativo per la funzione

In questo caso, lo studio della derivata seconda si rileva troppo complesso; possiamo comunque procedere rappresentando il grafico approssimativo della funzione:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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