Studiare la seguente funzione, determinandone il dominio, i punti di intersezione con gli assi, eventuali punti di massimo e minimo, e punti di flesso; verificare la presenza di asintoti, e tracciare il grafico approssimativo. $ f(x) = frac(e^(-x^2))(x + 2) $
La funzione può essere scritta anche nel modo seguente:
$ f(x) = frac(1)( e^(x^2) (x + 2)) $
Nel caso di funzioni fratte, dobbiamo escludere dal dominio i valori che annullano il denominatore; in questo caso:
$ e^(x^2) (x + 2) = 0 to x + 2 = 0 to x = – 2$
Quindi il dominio sarà l’insieme dei numeri reali eccetto il numero -2:
$ D = R – {-2} $.
Determiniamo ora i punti di intersezione con gli assi:
$ f(x) _|_ (x = 0) $
$ f(0) = frac(1)( e^(0^2) (0 + 2)) =1/2 $
Il punto individuato è $ ( 0 ; 1/2 ) $.
Quindi la funzione ha un punto di intersezione con l’asse y.
$ f(x) _|_ y = 0$
$ f(x) = 0 to frac(1)( e^(x^2) (x + 2)) = 0 $
Dato che l’uguaglianza non può essere verificata per nessun valore di x, concludiamo che la funzione non presenta punti di intersezione con l’asse x.
Verifichiamo se la funzione è pari o dispari:
$ f(-x) = frac(1)( e^((-x)^2) (-x + 2)) = frac(1)( e^(x^2) (-x + 2)) $
La funzione quindi non è ne pari ne dispari.
Cerchiamo gli intervalli in cui la funzione è positiva:
$ f(x) > 0 to frac(1)( e^(x^2) (x + 2)) > 0 to e^(x^2) (x + 2) > 0 $
$ x + 2 > 0 to x > – 2 $
La funzione è positiva nel seguente intervallo: $ ( -2 ; +oo ) $.
Passiamo ora alla ricerca degli asintoti; dobbiamo determinare i limiti della funzione, cominciamo in questo caso dal limite a $oo$:
$ lim_(x to oo) frac(1)( e^(x^2) (x + 2)) $
Non vi sono in questo limite forme di indecisione, e il valore può essere calcolato facilmente:
$ lim_(x to oo) frac(1)( e^(x^2) (x + 2)) = 0 $
La funzione, quindi, ha come asintoto orizzontale (destro e sinistro) la retta di equazione $y = 0$ .
Poiché la funzione non è definita in $x = -2$, verifichiamo se in tale punto è presente un asintoto verticale calcolando i seguenti limiti:
$ lim_(x to -2^+) frac(1)( e^(x^2) (x + 2)) , lim_(x to -2^-) frac(1)( e^(x^2) (x + 2)) $
I limiti destro e sinistro assumono i seguenti valori:
$ lim_(x to -2^+) frac(1)( e^(x^2) (x + 2)) = + oo $
$ lim_(x to -2^-) frac(1)( e^(x^2) (x + 2)) = – oo $
Quindi, la retta $ x = – 2$ è asintoto verticale (destro e sinistro) per la funzione.
Cerchiamo ora eventuali punti di massimo o minimo; calcoliamo la derivata prima della funzione:
$ f’(x) = – frac(e^(x^2) * 2x(x + 2) + e^(x^2) )( e^(2x^2)(x+2)^2 ) = – frac( 2x^2 + 4x + 1)( e^(x^2)(x+2)^2 ) $
Troviamo i punti in cui la derivata prima si annulla:
$ f’(x) = 0 to – frac( 2x^2 + 4x + 1)( e^(x^2)(x+2)^2 ) = 0 $
$ 2x^2 + 4x + 1 = 0 to x = -1 + frac(sqrt2)(2) V x = -1 – frac(sqrt2)(2) $
Studiamo il segno della derivata prima:
$ f’(x) > 0 to – frac( 2x^2 + 4x + 1)( e^(x^2)(x+2)^2 ) > 0 $
$ – (2x^2 + 4x + 1) > 0 $
$ e^(x^2) > 0 $
$ (x+2)^2 > 0 $
Dallo studio del segno si ottiene l’intervallo: $ ( -1 – frac(sqrt2)(2) , -1 + frac(sqrt2)(2) ) $; la funzione, quindi, è crescente in tale intervallo.
Notiamo, quindi, che il punto individuato da $ x = -1 – frac(sqrt2)(2) $ è un punto di minimo relativo per la funzione, mentre il punto individuato da $ x = -1 + frac(sqrt2)(2) $ è un punto di massimo relativo per la funzione
In questo caso, lo studio della derivata seconda si rileva troppo complesso; possiamo comunque procedere rappresentando il grafico approssimativo della funzione:
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