La funzione esponenziale di per se è definita in tutto
[math]R[/math]
; in questo caso, però, l'esponente è una frazione, quindi, dobbiamo escludere dal dominio i valori che annullano il denominatore; in questo caso:
[math] 1 + x = 0 \to x = -1 [/math]
Quindi il dominio sarà l'insieme dei numeri reali eccetto il numero -1:
[math] D = R - {-1} [/math]
.
Determiniamo ora i punti di intersezione con gli assi:
[math] f(x) \in t x = 0[/math]
[math] f(0) = 0 \cdot e^{frac(0)(1 + 0)} =0 [/math]
Il punto individuato è
[math] ( 0 ; 0 ) [/math]
.
[math] f(x) _!_ (y = 0)[/math]
[math] f(x) = 0 \to x \cdot e^{frac(x)(1 + x)} = 0 \to x = 0[/math]
In entrambi i casi otteniamo come punto di intersezione l'origine degli assi.
Verifichiamo se la funzione è pari o dispari:
[math] f(-x) = - x \cdot e^{frac(-x)(1 - x)} [/math]
La funzione quindi non è ne pari ne dispari.
Cerchiamo gli intervalli in cui la funzione è positiva:
[math] f(x) > 0 \to x \cdot e^{frac(x)(1 + x)} > 0 \to x > 0 [/math]
Poiché l'esponenziale è sempre positiva, la funzione è positiva nell'intervallo:
[math] ( 0 ; +oo ) [/math]
.
Passiamo ora alla ricerca degli asintoti; dobbiamo determinare i limiti della funzione, cominciamo in questo caso dal limite a
[math]+oo[/math]
:
[math] lim_(x \to +oo) x \cdot e^{frac(x)(1 + x)} [/math]
Non vi sono in questo limite forme di indecisione, e il valore può essere calcolato facilmente:
[math] lim_(x \to +oo) x \cdot e^{frac(x)(1 + x)} = +oo [/math]
Analogamente, il limite a
[math]-oo[/math]
sarà:
[math] lim_(x \to -oo) x \cdot e^{frac(x)(1 + x)} = -oo [/math]
La funzione, quindi, non ha asintoti orizzontali; in questo caso possiamo passare alla ricerca degli asintoti obliqui:
[math] m = lim_(x \to oo) frac(f(x))(x) = lim_(x \to oo) e^{frac(x)(1 + x)} = e [/math]
Abbiamo trovato un valore finito del limite, che rappresenta il valore del coefficiente angolare dell'eventuale asintoto; proseguiamo con il calcolo dell'intercetta:
[math] q = lim_(x \to oo) [ f(x) - mx] = lim_(x \to oo) [ x \cdot e^{frac(x)(1 + x)} - ex] = [/math]
[math] lim_(x \to oo) [ x \cdot (e^{frac(x)(1 + x)} - e) ] = lim_(x \to oo) [ ex \cdot (e^{-frac(1)(1 + x)} - 1) ] [/math]
Cerchiamo di ricondurre il limite ad un limite notevole:
[math] lim_(x \to oo) [ frac(-ex)(x+1) \cdot frac((e^{-frac(1)(1 + x)} - 1))(-frac(1)(x+1)) ] = -e [/math]
Possiamo quindi determinare l'equazione dell'asintoto obliquo:
[math] y = ex - e [/math]
Poiché la funzione non è definita in
[math]x = -1[/math]
, verifichiamo se in tale punto è presente un asintoto verticale calcolando i seguenti limiti:
[math] lim_(x \to -1^+) x \cdot e^{frac(x)(1 + x)} , lim_(x \to -1^-) x \cdot e^{frac(x)(1 + x)} [/math]
I limiti destro e sinistro assumono i seguenti valori:
[math] lim_(x \to -1^+) x \cdot e^{frac(x)(1 + x)} = 0 [/math]
[math] lim_(x \to -1^-) x \cdot e^{frac(x)(1 + x)} = - oo [/math]
Quindi, la retta
[math] x = - 1[/math]
è asintoto verticale (sinistro) per la funzione; "da destra" la funzione si avvicina a tale punto, senza mai raggiungerlo.
Cerchiamo ora eventuali punti di massimo o minimo; calcoliamo la derivata prima della funzione:
[math] f'(x) = e^{frac(x)(1+x)} + x \cdot e^{frac(x)(1+x)} \cdot frac(1+x-x)((1+x)^2) =[/math]
[math] e^{frac(x)(1+x)} \cdot ( 1 + frac(x)((x+1)^2) ) = e^{frac(x)(1+x)} \cdot frac(x^2 + 3x + 1)((x+1)^2) [/math]
Troviamo i punti in cui la derivata prima si annulla:
[math] f'(x) = 0 \to e^{frac(x)(1+x)} \cdot frac(x^2 + 3x + 1)((x+1)^2) = 0 [/math]
[math] x^2 + 3x + 1 = 0 \to [/math]
[math] x = frac(-3 + \sqrt5){2} vee x = frac(-3 - \sqrt5){2} [/math]
Studiamo il segno della derivata prima:
[math] f'(x) > 0 \to e^{frac(x)(1+x)} \cdot frac(x^2 + 3x + 1)((x+1)^2) > 0 [/math]
[math] e^{frac(x)(1+x)} > 0 [/math]
[math] x^2 + 3x + 1 > 0 [/math]
[math] (x+1)^2 > 0 [/math]
Dallo studio del segno si ottengono i seguenti intervallo:
[math] ( - oo , frac(-3 - \sqrt5){2} ) uu ( frac(-3 + \sqrt5){2} ; +oo) [/math]
; la funzione, quindi, è crescente in tali intervalli.
Notiamo, quindi, che il punto individuato da
[math] x = frac(-3 + \sqrt5){2} [/math]
è un punto di minimo relativo per la funzione, mentre il punto individuato da
[math] x = frac(-3 - \sqrt5){2} [/math]
è un punto di massimo relativo per la funzione.
In questo caso, lo studio della derivata seconda si rileva troppo complesso; possiamo comunque procedere rappresentando il grafico approssimativo della funzione:
In dettaglio mostriamo l'andamento della funzione nell'intervallo
[math](-1 ; 0)[/math]
:
