Studiare la seguente funzione, determinandone il dominio, i punti di intersezione con gli assi, eventuali punti di massimo e minimo, e punti di flesso; verificare la presenza di asintoti, e tracciare il grafico approssimativo. $ f(x) = (x^2 + x) e^(x+1) $

La funzione si presenta come il prodotto tra due funzioni, di cui una lineare e l’altra esponenziale; in questo caso, quindi, il dominio della funzione è l’insieme dei numeri reali:

$ D = R $.

Determiniamo ora i punti di intersezione con gli assi:

$ f(x) _|_ (x = 0) $

$ f(0) = (0^2 + 0) e^(0+1) = 0 $

Il punto individuato è $ ( 0 ; 0 ) $.

$ f(x) _|_ (y = 0)$

$ f(x) = 0 to (x^2 + x) e^(x+1) = 0 $

$ x^2 + x = 0 to x(x+1) = 0 to x = 0 V x = -1$

In questo caso abbiamo due punti, di cui uno già individuato in precedenza ($ ( 0 ; 0 ) $), e l’altro $ ( -1 ; 0 ) $.

Verifichiamo se la funzione è pari o dispari:

$ f(-x) = ((-x)^2 – x) e^(-x+1) $

La funzione quindi non è ne pari ne dispari.

Cerchiamo gli intervalli in cui la funzione è positiva:

$ f(x) > 0 to (x^2 + x) e^(x+1) > 0 to x^2 + x > 0 $

Poiché l’esponenziale è sempre positivo, la funzione è positiva negli intervalli: $ ( -oo ; -1 ) uu ( 0 ; +oo )$.

Passiamo ora alla ricerca degli asintoti; dobbiamo determinare i limiti della funzione, cominciamo in questo caso dal limite a $+oo$:

$ lim_(x to +oo) (x^2 + x) e^(x+1) $

Non vi sono in questo limite forme di indecisione, e il valore può essere calcolato facilmente:

$ lim_(x to +oo) (x^2 + x) e^(x+1) = +oo $

Calcoliamo ora il limite a $-oo$ :

$ lim_(x to -oo) (x^2 + x) e^(x+1) $

In questo caso abbiamo una forma di indecisione del tipo $ oo * 0 $; per risolverla, possiamo portare l’esponenziale al denominatore:

$ lim_(x to -oo) (x^2 + x) e^(x+1) = lim_(x to -oo) frac( x^2 + x)(e^(-x-1)) $

Ora sia numeratore che denominatore tendono a $+oo$, ma il denominatore è un infinito di ordine maggiore del numeratore, quindi tenderà ad infinito più velocemente; il valore del limite è quindi:

$ lim_(x to -oo) frac( x^2 + x)(e^(-x-1)) = 0 $

La retta $ y = 0$ è quindi un asintoto orizzontale sinistro per la funzione.

Poiché non ci sono asintoti orizzontali per $x to +oo$, occorre verificare se la funzione presenta asintoti obliqui per $x to +oo$:

$ m = lim_(x to oo) frac(f(x))(x) = lim_(x to oo) frac( x + 1)(e^(x+1)) = +oo $

Abbiamo trovato un valore infinito del limite, di conseguenza non sono presenti asintoti obliqui.

Cerchiamo ora eventuali punti di massimo o minimo; calcoliamo la derivata prima della funzione:

$ f’(x) = (2x + 1) e^(x+1) + (x^2 + x) e^(x+1) = $

$ e^(x+1) (2x + 1 + x^2 + x) = $

$ e^(x+1) (x^2 + 3x + 1) $

Troviamo i punti in cui la deriva prima si annulla:

$ f’(x) = 0 to e^(x+1) (x^2 + 3x + 1) = 0 $

$ x^2 + 3x + 1 = 0 to x = frac(-3 + sqrt5)(2) uu x = frac(-3 – sqrt5)(2) $

Studiamo il segno della derivata prima:

$ f’(x) > 0 to e^(x+1) (x^2 + 3x + 1) > 0 $

$ e^(x+1) > 0 $

$ x^2 + 3x + 1 > 0 $

Dallo studio del segno si ottengono i seguenti intervallo:

$ ( – oo , frac(-3 – sqrt5)(2) ) uu ( frac(-3 + sqrt5)(2) ; +oo) $;

la funzione, quindi, è crescente in tali intervalli.

Notiamo, quindi, che il punto individuato da $ x = frac(-3 + sqrt5)(2) $ è un punto di minimo relativo per la funzione, mentre il punto individuato da $ x = frac(-3 – sqrt5)(2) $ è un punto di massimo relativo per la funzione.

Calcoliamo ora la derivata seconda della funzione:

$ f’’(x) = e^(x+1) (x^2 + 3x + 1) + e^(x+1) (2x + 3) = $

$e^(x+1) (x^2 + 3x + 1 + 2x + 3) = $

$ e^(x+1) (x^2 + 5x + 4) $

Troviamo i valori di x che annullano la derivata seconda:

$ f’’(x) = 0 to e^(x+1) (x^2 + 5x + 4) = 0 $

$ x^2 + 5x + 4 = 0 to x = frac(-5 pm sqrt(25 – 16))(2) = frac(-5 pm 3)(2) $

$ x = -1 uu x = -4 $

Studiamo il segno della derivata seconda:

$ f’’(x) > 0 to e^(x+1) (x^2 + 5x + 4) > 0$

$ e^(x+1) > 0 $

$ x^2 + 5x + 4 > 0 $

Dallo studio del segno si trova che $ x < -4 uu x > -1 $ ; di conseguenza, la funzione sarà concava verso l’alto per x in tale intervallo, e sarà rivolta verso il basso per $ -4 < x < -1$. I punti individuati da $ x = -4$ e $ x = -1$ sono quindi punti di flesso.

Possiamo tracciare il grafico della funzione:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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