Studiare la seguente funzione, determinandone il dominio, i punti di intersezione con gli assi, eventuali punti di massimo e minimo, e punti di flesso; verificare la presenza di asintoti, e tracciare il grafico approssimativo. $ f(x) = 3x – log(| x^2 + x – 2|) $

La funzione si presenta come la somma di due funzioni, di cui una lineare e l’altra logaritmica; sappiamo che l’argomento del logaritmo deve essere un valore positivo, e poiché in questo caso l’argomento è un valore assoluto, dobbiamo escludere dal dominio della funzione solo i valori che annullano tale modulo:

$ x^2 + x – 2 = 0 to x = 1 uu x = -2 $

Quindi abbiamo:

$ D = R – { 1 ; -2} $.

Determiniamo ora i punti di intersezione con gli assi:

$ f(x) _|_ x = 0$

$ f(0) = 3*0 – log(| 0^2 + 0 – 2|) = – log(2) $

Il punto individuato è $ ( 0 ; – log(2) ) $.

L’intersezione della funzione con l’asse x non può essere calcolata con metodi analitici, in quanto so dovrebbe risolvere un’equazione del tipo:

$ 3x = log(| x^2 + x – 2|) $

Verifichiamo se la funzione è pari o dispari:

$ f(-x) = 3(-x) – log(| (-x)^2 – x – 2|) $

La funzione quindi non è ne pari ne dispari.

Passiamo ora alla ricerca degli asintoti; dobbiamo determinare i limiti della funzione, cominciamo dal limite a $+oo$:

$ lim_(x to +oo) 3x – log(| x^2 + x – 2|) $

Dalle proprietà dei valori assoluti, sappiamo che:

$ | x^2 + x – 2| = x^2 + x – 2 $ quando $ x^2 + x – 2 >= 0 $ cioè $ x < -2 V x > 1$

Quindi, per l’intorno che stiamo studiando, possiamo scrivere il limite nel seguente modo:

$ lim_(x to +oo) 3x – log(| x^2 + x – 2|) = lim_(x to +oo) 3x – log( x^2 + x – 2) $

Poiché il limite si presenta in una forma indeterminata, procediamo nel seguente modo: mettiamo in evidenza $x^2$ nell’argomento del logaritmo:

$ lim_(x to +oo) 3x – log( x^2 + x – 2) = lim_(x to +oo) 3x – log( x^2 ( 1 + 1/x – 2/x^2) $

Applicando le proprietà dei logaritmi si ottiene:

$ lim_(x to +oo) 3x – log( x^2 ( 1 + 1/x – 2/x^2) = $

$lim_(x to +oo) 3x – log(x^2) – log( 1 + 1/x – 2/x^2) = $

$ lim_(x to +oo) 3x – 2log(x) – log( 1 + 1/x – 2/x^2) $

Ora mettiamo in evidenza $x$ fra tutti i termini:

$ lim_(x to +oo) 3x – 2log(x) – log( 1 + 1/x – 2/x^2) = $

$lim_(x to +oo) x [3 – frac(2log(x))(x) – frac(log( 1 + 1/x – 2/x^2))(x)] $

In questo modo possiamo calcolare il valore del limite: infatti, le frazioni che compaiono possono essere risolte facilmente, perché presentano tutte un denominatore che è un infinito di ordine maggiore del numeratore; di conseguenza, tali frazioni tendono a 0 per $x to +oo$.
Abbiamo quindi il risultato seguente:

$ lim_(x to +oo) x [3 – frac(2log(x))(x) – frac(log( 1 + 1/x – 2/x^2))(x)] = +oo $

La funzione, quindi, non presenta asintoti orizzontali destri.

Studiamo ora l’andamento della funzione a $ – oo$. Con un ragionamento analogo al precedente si ha:

$ lim_(x to -oo) 3x – log(| x^2 + x – 2|) = lim_(x to -oo) 3x – log( -x^2 – x + 2) $

Effettuiamo gli stessi raccoglimenti per eliminare la forma indeterminata:

$ lim_(x to -oo) 3x – log( x^2 ( -1 – 1/x + 2/x^2) = $

$lim_(x to -oo) 3x – log(x^2) – log( -1 – 1/x + 2/x^2) = $

$ lim_(x to -oo) 3x – 2log(-x) – log( -1 – 1/x + 2/x^2) = $

$lim_(x to +oo) x [3 – frac(2log(x))(x) – frac(log( -1 – 1/x + 2/x^2))(x)] = -oo$

La funzione, quindi, non presenta neanche asintoti orizzontali sinistri.

Non avendo asintoti orizzontali, la funzione potrebbe presentare degli asintoti obliqui; ricerchiamo, se esiste finito, il coefficiente angolare del possibile asintoto:

$ m = lim_(x to oo) frac(f(x))(x) = lim_(x to oo) 3 – frac(log(| x^2 + x – 2|))(x) $

Scomponiamo il logaritmo fattorizzando il suo argomento e applicando le proprietà algebriche dei logaritmi:

$ m = lim_(x to oo) 3 – frac( log(|(x-1)(x+2)|) )(x) = $

$lim_(x to oo) 3 – frac( log(| x-1|) + log(| x+2|) )(x) = $

$ lim_(x to oo) 3 – frac( log(| x-1|) )(x) – frac( log(| x+2|) )(x) $

Le frazioni presenti hanno un denominatore che è un infinito di ordine maggiore del numeratore; di conseguenza, si ha:

$ lim_(x to oo) 3 – frac( log(| x-1|) )(x) – frac( log(| x+2|) )(x) = 3$

Poiché abbiamo ottenuto un valore finito per $m$, cerchiamo ora il valore di $q$:

$ q = lim_(x to oo) [ f(x) – mx] = $

$lim_(x to oo) [ 3x – log(| x^2 + x – 2|) – 3x] = $

$ lim_(x to oo) [ – log(| x^2 + x – 2|) ] = -oo$

Poiché $q$ assume un valore non finito, possiamo affermare che non esistono asintoti obliqui.

Non essendo definita in $ x = 1$ e $ x = -2$, studiamo il comportamento della funzione quando si avvicina a tali valori:

$ lim_(x to 1) 3x – log(| x^2 + x – 2|) $

Possiamo scomporre il logaritmo fattorizzando il trinomio notevole che ha come argomento, e applicando poi le proprietà dei logaritmi:

$ lim_(x to 1) 3x – log(| x^2 + x – 2|) = lim_(x to 1) 3x – log(|(x-1)(x+2)|) = $

$ lim_(x to 1) 3x – log(| x-1|) – log(| x+2|) $

Poiché si ha:

$ lim_(x to 1) 3x = 3 $

$ lim_(x to 1) – log(| x-1|) = +oo $

$ lim_(x to 1) – log(| x+2|) = – log(3) $

Il valore del limite sarà: $ lim_(x to 1) 3x – log(| x-1|) – log(| x+2|) = + oo$

Di conseguenza, la funzione presenta un asintoto verticale di equazione $ x = 1$.

Vediamo ora cosa accade per $ x to -2$:

$ lim_(x to -2) 3x – log(| x^2 + x – 2|) = lim_(x to -2) 3x – log(|(x-1)(x+2)|) = $

$ lim_(x to -2) 3x – log(| x-1|) – log(| x+2|) $

In questo caso:

$ lim_(x to -2) 3x = -6 $

$ lim_(x to -2) – log(| x-1|) = – log(3) $

$ lim_(x to -2) – log(| x+2|) = + oo $

E quindi il limite generale vale: $ lim_(x to -2) 3x – log(| x-1|) – log(| x+2|) = +oo$

Abbiamo trovato che anche la retta di equazione $ x = -2$ è asintoto verticale per la funzione.

Cerchiamo ora eventuali punti di massimo o minimo; calcoliamo la derivata prima della funzione:

$ f’(x) = 3 – frac(2x + 1)(x^2 + x – 2) = frac(3x^2 + x – 7)(x^2 + x – 2) $

Troviamo i punti in cui la deriva prima si annulla:

$ f’(x) = 0 to frac(3x^2 + x – 7)(x^2 + x – 2) = 0 $

$ 3x^2 + x – 7 = 0 to x = frac(-1 + sqrt(85))(6) vee x = frac(-1 – sqrt(85))(6) $

Studiamo il segno della derivata prima:

$ f’(x) > 0 to frac(3x^2 + x – 7)(x^2 + x – 2) > 0 $

$ 3x^2 + x – 7 > 0 $

$ x^2 + x – 2 > 0 $

Dallo studio del segno si ottengono i seguenti intervalli: $ ( – oo , -2 ) uu ( frac(-1 – sqrt(85))(6) ; 1) uu ( frac(-1 + sqrt(85))(2) ; +oo ) $; la funzione, quindi, è crescente in tali intervalli.

Notiamo, quindi, che i punti individuati da $ x = frac(-1 – sqrt(85))(6) $ e da $ x = frac(-1 – sqrt(85))(6) $ sono punti di minimo relativo per la funzione.

Calcoliamo ora la derivata seconda della funzione:

$ f’’(x) = frac( (6x + 1)(x^2 + x – 2) – (3x^2 + x – 7) * (2x + 1) )( (x^2 + x – 2)^2 ) = $

$ frac( 6x^3 + x^2 + 6x^2 + x – 12x – 2 – 6x^3 – 3x^2 – 2x^2 – x + 14x + 7 )( (x^2 + x – 2)^2 ) = $

$ frac( 2x^2 + 2x + 5 )( (x^2 + x – 2)^2 ) $

Troviamo i valori di x che annullano la derivata seconda:

$ f’’(x) = 0 to frac( 2x^2 + 2x + 5 )( (x^2 + x – 2)^2 ) = 0 $
$ 2x^2 + 2x + 5 = 0 $

Tale valore non si annulla mai, in quanto il delta è minore di zero; poiché la derivata seconda è sempre positiva, possiamo affermare che la funzione rivolge la concavità verso l’alto in tutto il suo dominio.

Possiamo tracciare il grafico della funzione:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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