Nel caso di funzioni fratte, nella determinazione del dominio si deve tener conto degli eventuali punti in cui la funzione potrebbe non essere definita, e questi sono i punti per cui il denominatore della funzione si annulla; in questo caso abbiamo:
[math] text(Denomina\tore) = 0 \to x + 1 = 0 \to x = - 1[/math]
Il dominio della funzione, quindi, è dato dall'insieme dei numeri reali eccetto in valore -1:
[math] D = R - {-1}[/math]
Determiniamo ora i punti di intersezione con gli assi:
[math] f(x) _|_ (x = 0) \to f(0) = 0 [/math]
Il punto individuato è quindi
[math] (0 ; 0) [/math]
.
[math] f(x) _|_ (y = 0) [/math]
[math] f(x) = 0 \to \frac{ \root[3]{x}}{x + 1} = 0 \to x = 0 [/math]
Il punto individuato è anche in questo caso
[math] (0 ; 0) [/math]
.
La funzione, quindi, passa per l'origine, e non ha altri punti di intersezione con gli assi.
Cerchiamo gli intervalli in cui la funzione è negativa e quelli in cui è positiva:
[math] f(x) > 0 \to \frac{ \root[3]{x}}{x + 1} > 0 [/math]
Studiando insegno si ottiene
[math] x 0[/math]
; la funzione in tale intervallo è positiva, mentre sarà negativa nell'intervallo
[math] -1 .
Studiamo la parità della funzione; ricordiamo che se
[math] f(-x) = f(x)[/math]
, la funzione è pari, ovvero simmetrica rispetto all'asse y, altrimenti se
[math] f(-x) = - f(x)[/math]
la funzione è dispari, ovvero simmetrica rispetto all'origine.
In questo caso:
[math] f(-x) = \frac{ \root[3]{-x}}{-x + 1} = - \frac{ \root[3]{x}}{-x + 1} [/math]
uindi la funzione non è ne pari ne dispari.
Passiamo ora alla ricerca degli asintoti; dobbiamo determinare i limiti della funzione, in questo caso, a
[math]+oo[/math]
e
[math]-oo[/math]
:
[math] lim_(x \to oo) \frac{ \root[3]{-x}}{-x + 1} [/math]
Essendo il denominatore di grado maggiore den numeratore, tale limite vale 0, e questo valore si ha sia per
[math]+oo[/math]
che per
[math]-oo[/math]
. Abbiamo, quindi, la presenza di un asintoto orizzontale e, poiché il valore del limite è 0, l'equazione dell'asintoto orizzontale è
[math] y = 0[/math]
, ovvero l'asse x è asintoto orizzontale. Poiché la funzione non è definita in
[math] x = -1[/math]
, in tale punto potrebbe esserci un asintoto verticale; controlliamo quindi la sua eventuale presenza risolvendo i limiti destro e sinistro:
[math] lim_(x \to -1^+) \frac{ \root[3]{-x}}{-x + 1} , lim_(x \to -1^-) \frac{ \root[3]{-x}}{-x + 1} [/math]
Nel primo caso abbiamo:
[math] lim_(x \to -1^+) \frac{ \root[3]{-x}}{-x + 1} = \frac{-1}{0^+} = - oo [/math]
Mentre nel secondo caso:
[math] lim_(x \to -1^-) \frac{ \root[3]{-x}}{-x + 1} = \frac{-1}{0^-} = + oo [/math]
Quindi si ha un asintoto verticale sia destro che sinistro di equazione
[math] x = - 1[/math]
.
Cerchiamo ora eventuali punti di massimo o minimo; calcoliamo la derivata prima della funzione:
[math] f'(x) = frac( 1/3 x^{-2/3} (x + 1) - x^{1/3} )( (x + 1)^2 ) = [/math]
[math]frac( 1/3 x^{1/3} + 1/3x^{-2/3} - x^{1/3} )( (x + 1)^2 ) = [/math]
[math] frac( -2/3 x^{1/3} + 1/3 x^{-2/3} )( (x + 1)^2 ) [/math]
Troviamo i punti in cui la deriva prima si annulla:
[math] f'(x) = 0 \to frac( -2/3 x^{1/3} + 1/3 x^{-2/3} )( (x + 1)^2 ) = 0 [/math]
[math] 2/3 x^{1/3} = 1/3 x^{-2/3} \to frac(2x - 1)(x^{2/3}) = 0 \to x = 1/2 [/math]
Studiamo il segno della derivata prima:
[math] f'(x) > 0 \to frac( -2/3 x^{1/3} + 1/3 x^{-2/3} )( (x + 1)^2 ) > 0 \to [/math]
[math] frac( -2/3 x + 1/3 )( x^{2/3}(x + 1)^2 ) > 0 \to x
Dallo studio della derivata prima possiamo capire che la funzione sarà crescente per
[math]x, quindi necessariamente essa presenterà un massimo (relativo) in
[math]1/2[/math]
; in particolare, in tale punto la funzione assume il valore:
[math] f(1/2) = \frac{1}{\root[3]{2}} \cdot \frac{1}{3/2} = \frac{ \root[3]{4}}{3} [/math]
Quindi, il punto
[math] ( \frac{1}{2} ; \frac{ \root[3]{4}}{3} ) [/math]
è un punto di massimo relativo per la funzione.
Possiamo quindi procedere rappresentando il grafico della funzione:
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