_Steven
di _Steven
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Studio della funzione

[math]f(x)=e^{(4x^2-9)/(|x|-1)}[/math]

Trovare:

1)Il dominio

2)Eventuali intersezioni con gli assi

3)Eventuali simmetrie

4)Eventuali asintoti

5)Intervalli di crescenza e decrescenza della funzione

1)

Osservando la funzione, si nota che bisogna solo escludere i punti per i quali si ha il denominatore nullo.

Per il resto, la funzione esponenziale

[math]f(t)=e^t[/math]
è definita
[math]foralltin RR[/math]

Perciò si ha solo

[math]|x|-1!=0[/math]

ovvero

[math]x!=+-1[/math]

2)

E' inutile cercare eventuali intersezioni con l'asse delle ascisse: infatti la funzione esponenziale è strettamente positiva in ogni punto del dominio.

Per quanto riguarda l'asse delle ordinate, si deve risolvere il sistema

[math]\begin{cases} x=0 \\ y=e^{(4x^2-9)/(|x|-1)} \ \end{cases}[/math]

Sostituendo

[math]\begin{cases} x=0 \\ y=e^9 \ \end{cases}[/math]

Quindi il punto è

[math]A=(0,e^9)[/math]

3)

La funzione è pari: questo implica che vi è una simmetria rispetto all'asse delle ordinate.

Si può facilmente provare la parità  dal momento che risulta

[math]f(x)=e^{(4x^2-9)/(|x|-1)}=e^{(4(-x)^2-9)/(|-x|-1)}=f(-x)[/math]

4)

Cerchiamo eventuali asintoti verticali.

Osserviamo il comportamento della funzione negli intorni di

[math]1[/math]
e
[math]-1[/math]

[math]lim_(x->1^+)e^{(4x^2-9)/(|x|-1)}=lim_(x->1^+)e^{(4x^2-9)/(x-1)}=e^{(-5)/(0^+)}=e^{-oo}=0^{+}[/math]

[math]lim_(x->1^-)e^{(4x^2-9)/(|x|-1)}=lim_(x->1^-)e^{(4x^2-9)/(x-1)}=e^{(-5)/(0^-)}=e^{+infty}=+oo[/math]

[math]lim_(x->-1^+)e^{(4x^2-9)/(|x|-1)}=lim_(x->-1^+)e^{(4x^2-9)/(-x-1)}=e^{(-5)/0^-}=e^{+oo}=+oo[/math]

[math]lim_(x->-1^-)e^{(4x^2-9)/(|x|-1)}=lim_(x->-1^-)e^{(4x^2-9)/(-x-1)}=e^{(-5)/(0^+)}=e^{-oo}=0[/math]

Quindi

[math]x=+-1[/math]
asintoto verticale

Asintoti obliqui non ci sono perchè

[math]lim_(x->+infty)(e^{(4x^2-9)/(|x|-1)})/x=lim_(x->+infty)(e^{(4x^2-9)/(x-1)})/x=+infty[/math]

[math]lim_(x->-infty)(e^{(4x^2-9)/(|x|-1)})/x=lim_(x->-infty)(e^{(4x^2-9)/(-x-1)})/x=-infty[/math]

5)

Se

[math]x>0[/math]

[math]f'(x)=e^{(4x^2-9)/(x-1)} \cdot ((4x^2-8x+9)/(x-1)^2)[/math]

per cui per

[math]x in (0,1)[/math]
U
[math](1,+infty)[/math]
, la funzione è sempre crescente

Se

[math]x<0[/math]

[math]f'(x)=e^{(4x^2-9)/(-x-1)} \cdot ((-4x^2-8x-9)/(-x-1)^2)[/math]

per cui per

[math]x in (-\in fty,-1)[/math]
U
[math](-1,0)[/math]
la funzione è sempre decrescente

FINE

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