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STUDIO DI FUNZIONE
x
=
y ( )
2
−
11 3 x
Si tratta di una funzione irrazionale fratta.
Per svolgere lo studio di funzione, è necessario procedere per passi.
1) DOMINIO DELLA FUNZIONE
La funzione presenta due criticità:
- l’incognita sotto una radice di indice pari (funzione irrazionale): in questo caso il
radicando deve essere maggiore di 0;
- l’incognita al denominatore (funzione fratta): in questo caso il denominatore deve
essere diverso da 0.
Nello specifico: ≥
→ ≥
3 x 0 x 0
( ) 121
2
− ≠
→ ≠
→ ≠
11 3 x 0 3 x 11 x 3
Quindi la funzione esiste solo nella parte positiva delle ascisse e presenta una discontinuità
nel punto avente ascissa 121/3. [ ) ( )
121 121 +∞
U
0
; ;
3 3
2) STUDIO DEL SEGNO
Per studiare il segno, è necessario porre la funzione maggiore o uguale a zero.
x ≥ 0
( )
2
−
11 3 x
Risolvendo si ottiene: ≥
→ ≥
N 0 x 0
( )
2
>
→ − >
→ ∀ ∈ ℜ
D 0 11 3 x 0 x
Poiché la funzione esiste solo per valori positivi delle x (cfr. Dominio), possiamo dire che
essa, dove esiste, è positiva. 1
3) INTERSEZIONI CON GLI ASSI
- Intersezione con l’asse delle ordinate (x=0)
= =
x 0 x 0 =
x 0 ( )
⇒ ⇒ ⇒
A 0
;
0
x 0
= = =
y y y 0
−
− 2
2 (
11 0
)
(
11 3 x )
- Intersezione con l’asse delle ascisse (y=0)
= =
y 0 y 0 =
y 0
⇒ ⇒ ⇒
A
( 0
;
0
)
x x
= = =
y 0 x 0
− −
2 2
(
11 3 x ) (
11 3 x )
La funzione ha un solo punto di intersezione con gli assi ed esso si trova nell’origine.
4) LIMITI
E’ utile calcolare i limiti nei punti esclusi dal dominio della funzione e all’infinito. In questo
caso, tuttavia, risulta essere inutile studiare il limite per x che tende a meno infinito. La
funzione è infatti definita solo per valori di x positivi. Studieremo quindi soltanto il limite
destro e sinistro del punto x=121/3 ed il limite della funzione per x che tende a più infinito.
121 121
x 3 3
= = = +∞
lim ( ) − +
−
2 2
+ (
11 11 ) 0
+
121
→ 11 3 x
x 3 121 121
x 3 3
= = = +∞
lim ( ) + +
−
2 2
− (
11 11 ) 0
+
121
→ 11 3 x
x 3
x x x 1
= = =
lim lim lim
( )
2 + −
→ +∞ → +∞ → +∞ 3
+
x x x
121 3 x 22 3 x x
22 3
x
11 3
121
⋅ + −
x 3
x x
Dallo studio dei limiti, si ricava che la discontinuità riscontrata dal dominio, è di seconda
specie (asintoto verticale) e che in corrispondenza del punto y=1/3, la funzione presenta un
asintoto orizzontale.
5) DERIVATA PRIMA x
=
y ( )
2
−
11 3 x
1
− − ⋅ − ⋅ − ⋅
2
(
11 3 x ) 2 x (
11 3 x ) 3
11
2 3
= =
'
y ( ) ( )
4 3
− −
11 3 x 11 3 x
A questo punto è necessario studiare il segno della derivata ponendola maggiore o uguale a
zero. 2
11 ≥ 0
( )
3
−
11 3 x
≥
→ ≥
→ ∀ ∈ ℜ
N 0 11 0 x
( )
3 121
>
→ − >
→ <
→ <
D 0 11 3 x 0 3 x 11 x 3
La funzione è quindi crescente per x<121/3 e calante nel resto del dominio. Nel punto 121/3
presenta, quindi, un massimo.
6) DERIVATA SECONDA
1
− ⋅ − ⋅ − ⋅
2
11 3 (
11 3 x ) 3
2 3 x 99
= =
' '
y − 6 ⋅ − 4
(
11 3 x ) 2 3 x (
11 3 x )
Studio del segno: 99 ≥ 0
( )
4
⋅ −
2 3 x 11 3 x
≥
→ ≥
→ ∀ ∈ ℜ
N 0 99 0 x
( )
4
>
→ − >
→ >
→ >
D 0 2 3 x 11 3 x 0 2 3 x 0 x 0
1
4
2
4
3
> ∀ ∈
ℜ
0 x
La funzione ha, nel dominio, sempre concavità rivolta verso l’alto. 3
