_Steven
di _Steven
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Trovare gli asintoti verticali e orizzontali del grafico della seguente funzione

[math]y=(2-x)/(\sqrt{x^2-2+x})[/math]

Eseguiamo i limiti opportuni

Per gli asintoti verticali:

[math]f(x)=(2-x)/(\sqrt{(x+2)(x-1)})[/math]

[math]lim_(x->1^+)(2-x)/(\sqrt{(x+2)(x-1)})=1/(0^+)=+infty[/math]

[math]lim_(x->-2^-)(2-x)/(\sqrt{(x+2)(x-1)})=4/(0^+)=+infty[/math]

Quindi
[math]x=1,x=-2[/math]
sono asintoti verticali

Occupiamoci di eventuali asintoti orizzontali

Mettendo in evidenza

[math]x^2[/math]
al radicando si ha

[math]lim_(x->+infty)(2-x)/(\sqrt{x^2+x-2})=lim_(x->+infty)(2-x)/(\sqrt(x^2(1+1/x-2/(x^2))))[/math]

Portando fuori dalla radice

[math]x^2[/math]
mettiamo a moltiplicare la radice un
[math]|x|[/math]
ma poichè
[math]x o infty[/math]
abbiamo che
[math]|x|=x[/math]
pertanto
[math]lim_(x->+infty)(2-x)/(x \cdot \sqrt{1+1/x-2/(x^2)})=lim_(x->+infty)(2-x)/x=-1[/math]

Infatti la radice è stata omessa perchè il radicando tendeva a

[math]1[/math]
e inoltre si è trascurato il
[math]2[/math]
a numeratore, insignificante rispetto all'infinito della
[math]x[/math]
.

Passiamo ora al limite per

[math]x o -infty[/math]

[math]lim_(x->-infty)(2-x)/(\sqrt{x^2+x-2})=lim_(x->-infty)(2-x)/(\sqrt(x^2(1+1/x-2/(x^2))))[/math]

Il ragionamento è uguale al precedente, ma questa volta dobbiamo ricordare che

[math]|x|=-x[/math]
poichè
[math]x

[math]lim_(x->-infty)(2-x)/(-x \cdot \sqrt{1+1/x-2/(x^2)})=1[/math]

Trascurando sempre il

[math]2[/math]
e la radice, si ottiene

[math]lim_(x->-infty)(-x)/(-x)=1[/math]

quindi

[math]y=+-1[/math]
sono asintoti orizzontali

FINE

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