_francesca.ricci
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0,50 moli di un gas perfetto si trovano in uno stato termodinamico caratterizzato da una pressione
[math]p_A = 2,0 kPa[/math]
e da un volume
[math]V_A = 1,3 m^3[/math]
. Il gas subisce prima una trasformazione isocora che ne varia la pressione da
[math]p_A[/math]
a
[math]p_B = 0,70 kPa[/math]
e successivamente una trasformazione isobara che ne porta la temperatura a un valore
[math]T_C = 600 K[/math]
.
  • Determina per ciascuno degli stati A,B,C i valori delle tre variabili termodinamiche;
  • Disegna in un riferimento p-V i grafici che rappresentano le due trasformazioni;
  • Calcola il lavoro totale compiuto dal gas durante le due trasformazioni.

Risoluzione quesito 1

Rappresentiamo in un grafico generale le trasformazioni del gas:

Trasformiamo ora i valori della pressione in Pascal:

[math]p_A = 2,0 kPa = 2,0 \cdot 10^3 Pa , p_B = 0,70 kPa = 0,70 \cdot 10^3 Pa[/math]

Sappiamo che da A a B il gas compie una trasformazione a volume costante, cioè

[math] V_A = V_B = 1,3 m^3[/math]

mentre da B a C il gas compie una trasformazione a pressione costante, cioè

[math] p_B = p_C = 0,70 \cdot 10^3 Pa[/math]

Determiniamo la temperatura nei tre stati della trasformazione utilizzando l'equazione di stato dei gas perfetti:

[math] p V = n R T \to T = frac(p V)(n R)[/math]

Ricordiamo che R è la costante universale dei gas e vale

[math]8,31 frac(J)(k \cdot mol)[/math]
; per lo stato A abbiamo:

[math]T_A = frac(p_A \cdot V_A)(n \cdot R) [/math]
=
[math]frac(2,0 \cdot 10^3 Pa \cdot 1,3 m^3)(0,50 mol \cdot 8,31 frac(J)(K \cdot mol)) = 6,3 \cdot 10^2 K[/math]

Allo stesso modo, per lo stato B si ha:

[math]T_B = frac(p_B \cdot V_B)(n \cdot R) [/math]
=
[math]frac(0,70 \cdot 10^3 Pa \cdot 1,3 m^3)(0,50 mol \cdot 8,31 frac(J)(K \cdot mol)) = 2,2 \cdot 10^2 K[/math]

Avendo già il valore della temperatura nel punto C applichiamo la prima legge di Gay-Lussac per trovare il volume in quello stato:

[math] V = frac(V_0)(T_0) T[/math]

[math] V_C = frac(V_B)(T_B) T_C = frac(1,3 m^3)(2,2 \cdot 10^2 K) \cdot 600 K = 3,5 m^3 [/math]

Risoluzione quesito 2

Rappresentiamo ora in due riferimenti p-V i grafici delle trasformazioni:

Risoluzione quesito 3

Calcoliamo ora il lavoro compiuto dal gas durante le due trasformazioni; sappiamo che in una trasformazione isocora, poiché non vi è variazione di volume il lavoro è nullo, quindi:

[math] L_(AB) = 0[/math]

Basterà quindi calcolare il lavoro nel tratto BC.

Nel caso di trasformazioni isobare il lavoro è dato dalla formula:

[math] L = p \cdot ∆V [/math]

[math]L_(BC) = p \cdot ∆V = p \cdot (V_C - V_B) = 0,70 \cdot 10^3 Pa \cdot (5,3 m^3 - 1,3 m^3) = [/math]

[math] 0,70 \cdot 10^3 Pa \cdot 2,2 m^3 = 1,54 \cdot 10^3 J [/math]

Il lavoro nel tratto BC, quindi, corrisponde alche al lavoro totale :

[math]L_(Tot) = 1,5 kJ[/math]