[math]ABCD[/math]
avente:
[math] AB = 40 , CD = 10 , tg(hat{ABC}) = 4/3 [/math]
determinare:
- perimetro e area del trapezio;
- dopo aver dimostrato che il trapezio è circoscritti bile ad una circonferenza, i raggi [math]R[/math]e[math]r[/math]delle circonferenze inscritta e circoscritta.
Svolgimento (1)
Per prima cosa, troviamo la lunghezza del segmento[math]HB[/math]
:
[math] HB = frac(AB - DC)(2) = frac(40 - 10)(2) = 15 [/math]
Consideriamo il triangolo rettangolo
[math]CHB[/math]
. Possiamo determinare il valore del cateto [math]CH[/math]
utilizzando il secondo teorema dei triangoli rettangoli:
[math]CH = HB \cdot tg(hat{ABC}) = 15 \cdot 4/3 = 20 [/math]
Possiamo quindi calcolare l'area del trapezio
[math] A_(ABCD) = frac(AB + DC)(2) \cdot CH = frac(40 + 10)(2) \cdot 20 = 25 \cdot 20 = 500 [/math]
Ora troviamo il lato obliquo
[math]BC[/math]
con il teorema di Pitagora:
[math]CB = \sqrt{CH^2 + HB^2} = \sqrt(20^2 + 15^2) = \sqrt(400 + 225) = \sqrt(625) = 25 [/math]
Calcoliamo il perimetro:
[math]P_(ABCD) = AB + DC + CB + DA = 40 + 10 + 25 + 25 = 100 [/math]
Svolgimento (2)
Ricordiamo che un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se la somma di due angoli apposti è uguale agli altri due; poiché il trapezio in questione è isoscele, è sicuramente inscrivibile.Un quadrilatero è circoscrivibile quando la somma di due lati opposti è uguale a quella degli altri due:
[math]AB + DC = AD + CB [/math]
[math] 40 + 10 = 25 + 25 \to 50 = 50 [/math]
Il trapezio è quindi inscrittibile in una circonferenza:
Notiamo che il diametro della circonferenza inscritta è uguale all'altezza del trapezio:
[math]CH = 2r \to 20 = 2r \to r = 10 [/math]
Essendo
[math]AH = DC + HB = 10 + 15 = 25 [/math]
, possiamo determinare la lunghezza del cateto [math]AC[/math]
del triangolo rettangolo [math]ACH[/math]
:
[math]AC = \sqrt{CH^2 + HA^2} = \sqrt(20^2 + 25^2) = \sqrt(400 + 625) = \sqrt(1025) = 5 \sqrt(41) [/math]
Possiamo poi utilizzare il teorema della corda per risalire al valore del diametro della circonferenza circoscritta:
[math] AC = D \cdot \\sin (hat{ABC})[/math]
Possiamo poi ricavare il seno dell'angolo
[math]hat{ABC}[/math]
dalla sua tangente:
[math]\\sin (hat{ABC}) = frac(tg(hat{ABC}))(\sqrt{1 + tg^2 (hat{ABC})}) = frac(4/3)(\sqrt(1 + (4/3)^2)) = [/math]
[math] frac(4/3)(\sqrt{1 + frac(16)(9)}) = frac(4/3)(\sqrt(frac(25)(9))) = frac(4/3)(5/3) = 4/3 \cdot 3/5 = 4/5 [/math]
[math] D = frac(AC)(\\sin (hat{ABC})) = frac(5 \sqrt{41})(4/5) = 5 \sqrt{41} \cdot 5/4 = frac(25 \sqrt{41})(4) [/math]
[math] R = D/2 = frac(25 \sqrt{41})(4) \cdot 1/2 = frac(25 \sqrt{41})(8) [/math]
