E’ dato un trapezio isoscele  $ABCD$  la cui base maggiore  $BC$  è di  $44 cm$, la base minore $AD$  è  $20 cm$  e il coseno dell’angolo  $\hat{ABC}$  è   $frac(12)(13) $ …

E’ dato un trapezio isoscele  $ABCD$  la cui base maggiore  $BC$  è di  $44 cm$, la base minore $AD$  è  $20 cm$  e il coseno dell’angolo  $\hat{ABC}$  è   $frac(12)(13) $ .

Determinare il perimetro e l’area del trapezio, la diagonale  $AC$  e il coseno dell’angolo $ \hat{ACB}$ .

 

trapezio_isoscele

 

Svolgimento

Sapendo che  il trapezio in questione è isoscele, possiamo determinare la lunghezza del segmento  $BH$ :

$ BH = frac(BC – AD)(2) = frac(44cm – 20 cm)(2) = 12 cm $

Poiché il triangolo  $ABH$  è rettangolo, calcoliamo la lunghezza del lato obliquo con il primo teorema sui triangoli rettangoli:

$ AB = frac(BH)(cos(\hat{ABC})) = frac(12)(frac(12)(13)) = 13 cm $

Troviamo l’altezza  $AH$  con il teorema di Pitagora:

$ AH = sqrt(AB^2 – BH^2) = sqrt(13^2 – 12^2) = sqrt(169 – 144) = 5 cm $

Ora abbiamo tutto per calcolare l’area del trapezio:

$A_(ABCD) = frac(BC + AD)(2) * AH =  frac(44cm + 20 cm)(2) * 5 cm = 160 cm^2 $

Sapendo che in un trapezio isoscele i lati obliqui sono uguali, possiamo calcolare il perimetro del trapezio:

$P_(ABCD) = BC + AD + AB + CD = $

$ (44 + 20 + 13 + 13) cm = 90 cm $

Consideriamo ora il triangolo  $AHC$ , anch’esso rettangolo; sappiamo che il suo cateto minore  $AH$  misura  $5 cm$ , e possiamo calcolare anche il suo cateto maggiore  $HC$ :

$HC = BC – BH = 44 cm – 12 cm = 32 cm $

Con il teorema di Pitagora possiamo risalire alla sua ipotenusa  $AC$ , che è anche la diagonale del trapezio:

$ AC = sqrt(AH^2 + HC^2) = sqrt(5^2 – 32^2) = sqrt(25 + 1024) = sqrt(1049) cm $

Tramite il primo teorema sui triangoli rettangoli, possiamo ricavare il coseno dell’angolo  $ \hat{ACB}$ :

$ cos(\hat{ACB}) = frac(HC)(AC) = frac(32)(sqrt(1049)) $

 

 

Commenti

commenti