_francesca.ricci
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In questo appunto di matematica si svolge un esercizio di geometria sul trapezio isoscele, avvalendosi delle formule di trigonometria e di alcuni teoremi che verranno enunciati e dimostrati.

Problema sul trapezio isoscele

Sia dato un trapezio isoscele ABCD, in cui AD è la base minore
[math]
AD = 20 cm
[/math]

[math]
BC
[/math]
è la base maggiore
[math]
BC = 44 cm
[/math]

Gli angoli adiacenti alla base maggiore, ABC e DCB, uguali e che per semplicità indicheremo con la lettera greca

[math]
\alpha
[/math]
hanno coseno uguale a
[math]
\frac{12}{13}
[/math]
Si richiede di trovare:
  • il perimetro,
    [math]
    2p
    [/math]
    , del trapezio;
  • l’area del trapezio isoscele ABCD,
    [math]
    A_{ABCD}
    [/math]
    ;
  • la lunghezza della diagonale
    [math]
    AC
    [/math]
    ;
  • il valore del coseno dell’angolo ACB, che per semplicità chiameremo
    [math]
    \beta
    [/math]
    .

trapezio_isoscele

Svolgimento
Iniziamo calcolando il perimetro del trapezio isoscele dato.
Quindi dobbiamo trovare la lunghezza di ciascun lato.
Sapendo che il trapezio in questione è isoscele, possiamo determinare la lunghezza del segmento
BH:

[math]
BH = \frac{BC − AD}{2} = \frac{44 − 20}{2} cm = 12 cm.
[/math]

Inoltre, essendo il triangolo AHB rettangolo in H, si può calcolare la lunghezza del lato obliquo AB, tramite il primo teorema sui triangoli rettangoli:

[math]
(AB) cos\alpha = BH
[/math]

quindi

[math]
AB = \frac{BH}{cos\alpha}
[/math]

[math]
AB = \frac{12}{\frac{12}{13}} cm
[/math]

[math]
AB = (12)(\frac{13}{12}) cm
[/math]

[math]
AB = 13 cm
[/math]

da cui

[math]
AB = DC = 13 cm.
[/math]

A questo punto, avendo a disposizione le misure di tutti i lati si può calcolare la lunghezza del perimetro del trapezio isoscele:

[math]
2p = AB + BC + CD + DA
[/math]

[math]
2p = (13 + 44 + 13 + 20) cm
[/math]

[math]
2p = 90 cm.
[/math]

Calcolo dell’area del trapezio isoscele.

[math]
A_{ABCD} = \frac{(B + b) h}{2}
[/math]

dove
B è la base maggiore BC
b è la base minore AD
h è l’altezza AH
Del trapezio isoscele ABCD si conosce sia la base maggiore, BC, che la base minore, AD, e al fine di calcolare la sua area dobbiamo trovare la sua altezza AH.
Considerando il triangolo rettangolo AHB (retto in H) ed applicando il Teorema di Pitagora si ha che:

[math]
(AH)^2 + (BH)^2 = (AB)^2
[/math]

ossia

[math]
(AH)^2 = (AB)^2 – (BH)^2
[/math]

[math]
AH = \sqrt{(AB)^2 – (BH)^2}
[/math]

[math]
AH = \sqrt{(13)^2 – (12)^2} cm
[/math]

[math]
AH = \sqrt{169 – 144} cm
[/math]

[math]
AH = \sqrt{25} cm
[/math]

[math]
AH = 5 cm
[/math]

Allo stesso risultato saremmo giunti se avessimo utilizzato i teoremi dei triangoli rettangoli:

[math]
AH = (AB) sen\alpha
[/math]

Dove il

[math]
sen\alpha
[/math]
può essere ricavato dalla relazione fondamentale della trigonometria:
[math]
(sen\alpha)^2 + (cos\alpha)^2 = 1
[/math]

[math]
(sen\alpha)^2 = 1 - (cos\alpha)^2
[/math]

[math]
sen\alpha = \sqrt{1 - (cos\alpha)^2}
[/math]

[math]
sen\alpha = \sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2}
[/math]

[math]
sen\alpha = \sqrt{1 - \frac{144}{169}}
[/math]

[math]
sen\alpha = \sqrt{\frac{169 - 144}{169}}
[/math]

[math]
sen\alpha = \sqrt{\frac{25}{169}}
[/math]

[math]
sen\alpha = \frac{5}{13}
[/math]

quindi

[math]
AH = (AB) sen\alpha
[/math]

[math]
AH = (13) (\frac{5}{13}) cm
[/math]

[math]
AH = 5 cm.
[/math]

Si noti che è stato scelto il valore positivo per

[math]
sen\alpha
[/math]
, in quanto il valore negativo sarebbe corrisposto ad un angolo maggiore di 180°, quindi un valore non accettabile per un angolo interno di un triangolo.
A questo punto, note le dimensioni delle basi e dell’altezza, si può calcolare l’area:
[math]
A_{ABCD} = \frac{(BC + AD) (AH)}{2}
[/math]

[math]
A_{ABCD} = \frac{(44 + 20) (5)}{2} cm^2
[/math]

[math]
A_{ABCD} = \frac{(64) (5)}{2} cm^2
[/math]

[math]
A_{ABCD} = 160 cm^2.
[/math]

Calcolo della diagonale AC
Al fine di calcolare la diagonale AC si consideri il triangolo rettangolo AHC, rettangolo in H.
I cateti di tale triangolo sono:

[math]
AH = 5 cm
[/math]

[math]
HC = BC – BH
[/math]

[math]
HC = (44 – 12) cm
[/math]

[math]
HC = 32 cm
[/math]

Per il Teorema di Pitagora si ha che:

[math]
(AC)^2 = (HC)^2 + (AH)^2
[/math]

[math]
AC = \sqrt{(HC)^2 + (AH)^2}
[/math]

[math]
AC = \sqrt{(32)^2 + (5)^2} cm
[/math]

[math]
AC = \sqrt{1024 + 25} cm
[/math]

[math]
AC = \sqrt{1049} cm
[/math]

Il valore approssimato di AC vale circa 32,39 cm.
Allo stesso risultato saremmo giunti utilizzando il Teorema di Carnot (o del coseno) applicato al triangolo ABC.
Avremmo avuto che

[math]
(AC)^2 = (AB)^2 + (BC)^2 – 2 (AB)(BC) cos\alpha
[/math]

[math]
AC = \sqrt{(AB)^2 + (BC)^2 – 2 (AB)(BC) cos\alpha}
[/math]

[math]
AC = \sqrt{(13)^2 + (44)^2 – 2 (13)(44) (\frac{12}{13}} cm
[/math]

[math]
AC = \sqrt{169 + 1936 – 2 (13)(44) (\frac{12}{13}} cm
[/math]

[math]
AC = \sqrt{2105 – 1056} cm
[/math]

[math]
AC = \sqrt{1049} cm.
[/math]

Calcolo del coseno dell’angolo ACB,

[math]
cos\beta
[/math]

Tramite il primo teorema dei triangoli rettangoli si può calcolare il coseno dell’angolo ACB:

[math]
HC = (AC) cos\beta
[/math]

[math]
cos\beta = \frac{HC}{AC}
[/math]

[math]
cos\beta = \frac{32}{\sqrt{1049}}.
[/math]

Allo stesso risultato saremmo giunti:

  • tramite il Teorema dei seni applicato al triangolo ABC;
  • tramite il Teorema di Carnot (o del coseno) applicato ancora al triangolo ABC.
Nel primo caso si ha che:
[math]
\frac{AB}{sen\beta} = \frac{AC}{sen\alpha}
[/math]

[math]
\frac{13}{sen\beta} = \frac{\sqrt{1049}}{\frac{5}{13}}
[/math]

[math]
sen\beta = \frac{(\frac{5}{13})(13)}{\sqrt{1049}}
[/math]

[math]
sen\beta = \frac{5}{\sqrt{1049}}
[/math]

Dalla relazione fondamentale della trigonometria si ricava il vale del coseno:

[math]
(sen\beta)^2 + (cos\beta)^2 = 1
[/math]

[math]
(cos\beta)^2 = 1 - (sen\beta)^2
[/math]

[math]
cos\beta = \sqrt{1 - (sen\beta)^2}
[/math]

[math]
cos\beta = \sqrt{1 - (\frac{5}{\sqrt{1049})^2}
[/math]

[math]
cos\beta = \sqrt{1 - \frac{25}{1049}}
[/math]

[math]
cos\beta = \sqrt{\frac{1049 - 25}{1049}}
[/math]

[math]
cos\beta = \sqrt{\frac{1024}{1049}}
[/math]

[math]
cos\beta = \frac{32}{\sqrt{1049}}.
[/math]

Nel secondo caso applicando il Teorema del coseno si ha che:

[math]
(AH)^2 = (AC)^2 + (HC)^2 – 2 (HC)(AC) cos\beta
[/math]

[math]
cos\beta = \frac{(AC)^2 + (HC)^2 - (AH)^2}{2 (HC)(AC)}
[/math]

[math]
cos\beta = \frac{(\sqrt{1049})^2 + (32)^2 - (5)^2}{2 (32)(\sqrt{1049})}
[/math]

[math]
cos\beta = \frac{1049 + 1024 - 25}{(64)(\sqrt{1049})}
[/math]

[math]
cos\beta = \frac{2048}{(64)(\sqrt{1049})}
[/math]

[math]
cos\beta = \frac{32}{\sqrt{1049}}
[/math]

Teorema di Carnot

Il Teorema di Carnot è diretta conseguenza del Teorema delle Proiezioni ed afferma che:
in un triangolo qualsiasi, il quadrato della misura di ogni lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due, diminuita del doppio prodotto delle misure di questi due lati per il coseno dell’angolo fra essi compreso.
Dato il triangolo di lati a, b e c, chiamato \alpha l’angolo fra i lati b e c, si ha che:
[math]
a^2 = b^2 + c^2 – 2bc cos\alpha.
[/math]

Dimostrazione:
per il teorema delle proiezioni si ha che

[math]
a = b cos\gamma + c cos\beta
[/math]

[math]
b = c cos\alpha + a cos\gamma
[/math]

[math]
c = a cos\beta + b cos\alpha
[/math]

dove

[math]
\gamma
[/math]
è l’angolo che il lato b forma con il lato a e
[math]
\beta
[/math]
è l’angolo che il lato a forma con il lato c.
Si moltiplica la prima per a, la seconda per –b e la terza per –c
[math]
a^2 = ab cos\gamma + ac cos\beta
[/math]

[math]
-b^2 = -bc cos\alpha - ab cos\gamma
[/math]

[math]
-c^2 = -ac cos\beta - bc cos\alpha
[/math]

si sommano membro a membro queste tre uguaglianze e si ottiene

[math]
a^2 – b^2 – c^2 = -2bc cos\alpha
[/math]

da cui

[math]
a^2 = b^2 + c^2 – 2bc cos\alpha.
[/math]

Un ragionamento analogo si può fare per gli altri due lati.

Teorema dei seni

Il Teorema dei seni o di Eulero afferma quanto segue:
in un triangolo qualunque le misure dei lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti:
[math]
\frac{a}{sen\alpha} = \frac{b}{sen\beta} = \frac{c}{sen\gamma} = 2R
[/math]

dove R è il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo dato.
Dimostrazione
Sia il triangolo ABC acutangolo.
Una qualunque altezza AH lo divide nei due triangoli rettangoli ACH e ABH.
Sia

[math]
AH = h
[/math]

si ha che

[math]
h = b sen\gamma
[/math]

[math]
h = c sen\beta
[/math]

quindi

[math]
\frac{b}{sen\beta} = \frac{c}{sen\gamma}.
[/math]

Se si considera un’altra altezza BK, con un ragionamento analogo si ottiene:

[math]
\frac{a}{sen\alpha} = \frac{c}{sen\gamma}
[/math]

per cui si ha la tesi

[math]
\frac{a}{sen\alpha} = \frac{b}{sen\beta} = \frac{c}{sen\gamma}.
[/math]

Sia il triangolo ABC ottusangolo
Supponiamo che l’angolo ottuso sia quello in B, dai triangoli rettangoli ACH e ABH si ha che

[math]
h = b sen\gamma
[/math]

[math]
h = c sen (180 - \beta)
[/math]

ed essendo

[math]
(180 - \beta) = sen\beta
[/math]

si ha che

[math]
h = b sen\gamma = c sen\beta
[/math]

ossia

[math]
\frac{b}{sen\beta} = \frac{c}{sen\gamma}
[/math]

Se poi consideriamo l’altezza CH, in modo del tutto analogo si trova che:

[math]
\frac{a}{sen\alpha} = \frac{b}{sen\beta}
[/math]

quindi la tesi

[math]
\frac{a}{sen\alpha} = \frac{b}{sen\beta} = \frac{c}{sen\gamma}.
[/math]

per ulteriori approfondimenti sulla trigonometria vedi anche qua