Determinare le tangenti goniometriche degli angoli del triangolo individuato dalle rette: $ r : y = – x + 5      ,      s : 5x – 2y – 18 = 0     ,      t : 2x – 5y + 18 = 0 $

Determinare le tangenti goniometriche degli angoli del triangolo individuato dalle rette:

$ r : y = – x + 5      ,      s : 5x – 2y – 18 = 0     ,      t : 2x – 5y + 18 = 0 $

 

Svolgimento

Cominciamo rappresentando sul piano cartesiano le seguenti rette per punti:

$ (0,5) ; ( -1,6) ; (1,4) ∈ r $

$ (0,-9) ; ( -1,-(23)/2) ; (1,-(13)/2) ∈ s $

$ (0,(18)/5) ; ( -1,(16)/5) ; (1,4) ∈ t $

 

 

Per prima cosa, calcoliamo il coefficiente angolare delle tre rette in questione:

$ m = – a/b $

$ m_r = -1     ,     m_s = 5/2     ,      m_t = 5/2 $

Calcoliamo ora le tangenti degli angoli formati dalle rette mediante la formula:

$ tg(x) = frac(m^1 – m)(1 + m^1 * m) $

Due rette incidenti danno origine a due coppie di angoli, due acuti e due ottusi; poiché noi cerchiamo le tangenti degli angoli interni del triangolo, dobbiamo trovare valori positivi delle tangenti.

In caso contrario, basterà cambiare segno al risultato, poiché tangenti di angoli supplementari sono uguali e opposte.

$ tg(x) = frac(m^1 – m)(1 + m^1 * m) = frac(-1-2/5)(1+(-1)*2/5) = frac(-7/5)(1-2/5) = $

$ frac(-7/5)(3/5) = – 7/5 * 5/3 = – 7/3  $

In questo caso, il risultato, essendo negativo, corrisponde all’angolo  $180° – alpha$ , poiché la tangente è negativa. Cambiamo segno per trovare la tangente dell’angolo interno al triangolo:

$tg(alpha) = 7/3 $

$ tg(beta) = frac(m_r – m_s)(1 + m_r * m_s) = frac(-1-5/2)(1+(-1)*5/2) = frac(-7/2)(1-5/2) = $

$ frac(-7/2)(-3/2) = – 7/2 * (- 2/3) = 7/3  $

$ tg(gamma) = frac(m_t – m_s)(1 + m_t * m_s) = frac(2/5-5/2)(1+ 2/5*5/2) = frac(-(21)/(10))(2) = $

$  – frac(21)(10) * 1/2 = – frac(21)(20)  $

Come prima, cambiamo segno per ottenere la tangente dell’angolo acuto:

$tg(gamma) = frac(21)(20) $

 

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