Determinare l’ipotenusa di un triangolo rettangolo sapendo che la somma dei seni dei due angoli acut

Determinare l’ipotenusa di un triangolo rettangolo sapendo che la somma dei seni dei due angoli acuti
è $(17)/(13)$ e che il cateto minore è $5x$


Svolgimento

Noi sappiamo che $sin(\beta)+sin(\gamma)=(17)/(13)$
Per le formule di prostaferesi:
$sinp+sinq=2sin((p+q)/2)cos((p-q)/2)$
Quindi poichè la somma degli angoli interni di un triangolo è di $180^\circ$, ovvero
$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$
si ha che
$90^\circ+\beta+\gamma=180^\circ => \beta+\gamma=180^\circ-90^\circ=90^\circ$.
Pertanto
$(17)/(13)=sin(\beta)+sin(\gamma)=2sin((\beta+\gamma)/2)cos((\beta-\gamma)/2)=2sin(45^\circ)cos((\beta-\gamma)/2)=$
$=2*(sqrt2)/2cos((\beta-\gamma)/2)=sqrt2cos((\beta-\gamma)/2) =>  cos((\beta-\gamma)/2)=(17)/(13sqrt2)=(17sqrt2)/(26)$.
Quindi $(\beta-\gamma)/2=arccos((17sqrt2)/(26))=22,38^\circ$.

Mettiamo a sistema le due equazioni trovate, $(\beta-\gamma)/2=22,38^\circ$ e $(\beta+\gamma)/2=45^\circ$, e
risolviamolo per sostituzione
$\{((\beta+\gamma)/2=45^\circ),((\beta-\gamma)/2=22,38^\circ):}$;
$\{((\beta+\gamma)=90^\circ),((\beta-\gamma)/2=22,38^\circ):}$;
$\{((\beta)=90^\circ-\gamma),((90^\circ-\gamma-\gamma)/2=22,38^\circ):}$;
$\{((\beta)=90^\circ-\gamma),((90^\circ-2(\gamma))/2=22,38^\circ):}$;
$\{((\beta)=90^\circ-\gamma),(45^\circ-(\gamma)=22,38^\circ):}$;
$\{((\beta)=90^\circ-\gamma),((\gamma)=22,62^\circ):}$;
$\{((\beta)=90^\circ-22,62^\circ=67,38^\circ),((\gamma)=22,62^\circ):}$.
Quindi $(\gamma)=22,62^\circ$ e $(\beta)=67,38^\circ$.

In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa
per il seno dell’angolo opposto al cateto stesso.
$c=asin(\gamma) => a=c/(sin(\gamma))=(5x)/(sin(22,62^\circ))=13x$.

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