La diagonale  $AC$  del quadrilatero  $ABCD$  lo divide nel triangolo equilatero  $ABC$ di lato  $l$  e nel triangolo isoscele  $ACD$  di lato  $ AC = CD = l $  . Sapendo che   $cos(\hat{BCD})  = – frac(1)(sqrt3)$  , calcolare l’area del quadrilatero.

La diagonale  $AC$  del quadrilatero  $ABCD$  lo divide nel triangolo equilatero  $ABC$ di lato  $l$  e nel triangolo isoscele  $ACD$  di lato  $ AC = CD = l $  .

Sapendo che   $cos(\hat{BCD})  = – frac(1)(sqrt3)$  , calcolare l’area del quadrilatero.

 

 

 

Svolgimento

Determiniamo il seno dell’angolo  $\hat{BCD}$ :

$ sin(\hat{BCD}) = sqrt(1 – cos^2 (\hat{BCD})) = sqrt(1 – (- frac(1)(sqrt3))^2) = $

$ sqrt(1 – 1/3) = sqrt(2/3)$

Possiamo già determinare l’area del triangolo equilatero  $ABC$ :

$A_(ABC) = 1/2 * AB * BC * sin(\hat{ABC}) = 1/2 *l*l*sin(60°) = $
$ frac(l^2)(2) * frac(sqrt3)(2) = frac(sqrt3 l^2)(4) $

Ora, consideriamo l’altro triangolo; sappiamo che:

$ \hat{ACD} = \hat{DCB} – 60° $

Quindi:

$ sin (\hat{ACD}) = sin ( \hat{DCB} – 60°) $

Applichiamo la formula di sottrazione del seno:

$ sin ( \hat{DCB} – 60°) = sin(\hat{DCB})cos(60°) – cos(\hat{DCB}) sin(60°) = $

$ sqrt(2/3) * 1/2 – (- frac(1)(sqrt3)) * frac(sqrt3)(2) = frac(sqrt2)(2 sqrt3) + 1/2 = $

$ frac(sqrt2 + sqrt3)(2 sqrt3) $

Possiamo ora determinare anche l’area dell’altro triangolo:

$A_(ACD) = 1/2 * DC * AC * sin(ACD) = 1/2 * l * l * frac(sqrt2 + sqrt3)(2 sqrt3) = $

$ frac((sqrt2 + sqrt3) l^2)(4 sqrt3) $

L’area totale del quadrilatero è quindi:

$ A_(ABCD) = A_(ABC) + A_(ACD) = frac(sqrt3 l^2)(4) + frac((sqrt2 + sqrt3) l^2)(4 sqrt3) = $

$frac( 3 l^2 + sqrt2 l^2 + sqrt3 l^2)(4 sqrt3) $

 

 

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