[math]AC[/math]
del quadrilatero [math]ABCD[/math]
lo divide nel triangolo equilatero [math]ABC[/math]
di lato [math]l[/math]
e nel triangolo isoscele [math]ACD[/math]
di lato [math] AC = CD = l [/math]
.Sapendo che
[math]\\cos(hat{BCD}) = - frac(1)(\sqrt3)[/math]
, calcolare l'area del quadrilatero.
Svolgimento
Determiniamo il seno dell'angolo[math]hat{BCD}[/math]
:
[math] \\sin (hat{BCD}) = \sqrt{1 - \\cos^2 (hat{BCD})} = \sqrt(1 - (- frac(1)(\sqrt3))^2) = [/math]
[math] \sqrt{1 - 1/3} = \sqrt(2/3)[/math]
Possiamo già determinare l'area del triangolo equilatero
[math]ABC[/math]
:
[math]A_(ABC) = 1/2 \cdot AB \cdot BC \cdot \\sin (hat{ABC}) = 1/2 \cdot l \cdot l \cdot \\sin(60°) = [/math]
[math] frac(l^2)(2) \cdot frac(\sqrt3){2} = frac(\sqrt3 l^2)(4) [/math]
Ora, consideriamo l'altro triangolo; sappiamo che:
[math] hat{ACD} = hat{DCB} - 60° [/math]
Quindi:
[math] \\sin (hat{ACD}) = \\sin ( hat{DCB} - 60°) [/math]
Applichiamo la formula di sottrazione del seno:
[math] \\sin ( hat{DCB} - 60°) = \\sin(hat{DCB})\\cos(60°) - \\cos(hat{DCB}) \\sin(60°) = [/math]
[math] \sqrt{2/3} \cdot 1/2 - (- frac(1)(\sqrt3)) \cdot frac(\sqrt3)(2) = frac(\sqrt2)(2 \sqrt3) + 1/2 = [/math]
[math] frac(\sqrt2 + \sqrt3){2 \sqrt3} [/math]
Possiamo ora determinare anche l'area dell'altro triangolo:
[math]A_(ACD) = 1/2 \cdot DC \cdot AC \cdot \\sin (ACD) = 1/2 \cdot l \cdot l \cdot frac(\sqrt2 + \sqrt3){2 \sqrt3} = [/math]
[math] frac((\sqrt2 + \sqrt3) l^2){4 \sqrt3} [/math]
L'area totale del quadrilatero è quindi:
[math] A_(ABCD) = A_(ABC) + A_(ACD) = frac(\sqrt3 l^2){4} + frac((\sqrt2 + \sqrt3) l^2)(4 \sqrt3) = [/math]
[math]frac( 3 l^2 + \sqrt2 l^2 + \sqrt3 l^2){4 \sqrt3} [/math]
