Nel triangolo
[math]ABC[/math]
l'angolo di vertice
[math]A[/math]
ha ampiezza
[math]alpha[/math]
e l'angolo in
[math]B[/math]
è di
[math]30°[/math]
.
Sapendo che
[math]\\sin (alpha) = 3/4[/math]
determinare le funzioni goniometriche dell'angolo in
[math]C[/math]
nei due casi:
a)
[math]alpha[/math]
è acuto;
b)
[math]alpha[/math]
è ottuso.
Verificare che in entrambi i casi il triangolo è ottusangolo.
Svolgimento (a)
Nel caso in cui l'angolo in
[math]A[/math]
sia acuto, determiniamo il suo coseno:
[math] \\cos(alpha) = \sqrt{1 - \\sin ^2(alpha)} = \sqrt(1 - (3/4)^2) = [/math]
[math] \sqrt{1 - frac(9)(16)} = \sqrt(frac(16-9)(16)) = frac(\sqrt7)(4) [/math]
Essendo la somma degli angoli interni di un triangolo
[math]180°[/math]
, sappiamo che l'angolo
[math]gamma[/math]
vale:
[math] gamma = 180° - (alpha + hat{B}) = 180° - (alpha + 30°) [/math]
[math] \\cos (gamma) = \\cos [180° - (alpha + 30°)] [/math]
Ricorrendo agli angoli associati, possiamo subito scrivere:
[math] \\cos (gamma) = \\cos [180° - (alpha + 30°)] = - \\cos(alpha + 30°) [/math]
Applichiamo ora la formula di addizione del coseno:
[math] - \\cos(alpha + 30°) = - (\\cos(alpha)\\cos(30°) - \\sin (alpha) \\sin(30°)) = - \\cos(alpha)\\cos(30°) + \\sin (alpha) \\sin(30°) = [/math]
[math] - frac(\sqrt7){4} \cdot frac(\sqrt3)(2) + 3/4 \cdot 1/2 = - frac(\sqrt(21))(8) + 3/8 = frac(3 - \sqrt(21))(8) [/math]
Abbiamo ottenuto un risultato negativo, poiché
[math]frac(3 - \sqrt{21})(8) [/math]
è minore di zero.
Possiamo affermare quindi che l'angolo
[math]gamma [/math]
è un angolo ottuso; calcoliamo il suo seno:
[math] \\sin (gamma) = \\sin [180° - (alpha + 30°)] = \\sin(alpha + 30°) [/math]
Applichiamo ora la formula di addizione del seno:
[math] \\sin (alpha + 30°) = \\sin (alpha) \\cos(30°) + \\cos(alpha) \\sin(30°) = [/math]
[math] 3/4 \cdot frac(\sqrt3){2} + frac(\sqrt7){2} \cdot 1/2 = frac(3\sqrt3)(8) + frac(\sqrt7)(8) = [/math]
[math] frac(3\sqrt3 + \sqrt7){8} [/math]
Svolgimento (b)
Calcoliamo il coseno dell'angolo in A, tenendo presente che, poiché l'angolo è ottuso, il coseno sarà negativo:
[math] \\cos(alpha) = - \sqrt{1 - \\sin ^2(alpha)} = - \sqrt(1 - (3/4)^2) = [/math]
[math] - \sqrt{1 - frac(9)(16)} = - \sqrt(frac(16-9)(16)) = - frac(\sqrt7)(4) [/math]
Allo stesso modo, calcoliamo le funzioni goniometriche dell'angolo
[math]gamma[/math]
:
[math] gamma = 180° - (alpha + hat{B}) = 180° - (alpha + 30°) [/math]
[math] \\cos (gamma) = \\cos [180° - (alpha + 30°)] [/math]
Ricorrendo agli angoli associati, possiamo subito scrivere:
[math] \\cos (gamma) = \\cos [180° - (alpha + 30°)] = - \\cos(alpha + 30°) [/math]
Applichiamo ora la formula di addizione del coseno:
[math] - \\cos(alpha + 30°) = - (\\cos(alpha)\\cos(30°) - \\sin (alpha) \\sin(30°)) = - \\cos(alpha)\\cos(30°) + \\sin (alpha) \\sin(30°) = [/math]
[math] - ( - frac(\sqrt7){4}) \cdot frac(\sqrt3)(2) + 3/4 \cdot 1/2 = frac(\sqrt(21))(8) + 3/8 = frac(3 + \sqrt(21))(8) [/math]
[math] \\sin (gamma) = \\sin [180° - (alpha + 30°)] = \\sin(alpha + 30°) [/math]
Applichiamo ora la formula di addizione del seno:
[math] \\sin (alpha + 30°) = \\sin (alpha) \\cos(30°) + \\cos(alpha) \\sin(30°) = [/math]
[math] 3/4 \cdot frac(\sqrt3){2} - frac(\sqrt7){2} \cdot 1/2 = frac(3\sqrt3)(8) - frac(\sqrt7)(8) = [/math]
[math] frac(3\sqrt3 - \sqrt7){8} [/math]
In questo caso, quindi, l'angolo
[math]gamma[/math]
è acuto; tuttavia, è presente comunque nel triangolo un angolo ottuso, cioè l'angolo
[math]alpha[/math]
.
In ogni caso, quindi, avremmo a che fare con un triangolo ottusangolo.