Nel triangolo  $ABC$  l’angolo di vertice  $A$  ha ampiezza  $alpha$  e l’angolo in  $B$  è di  $30°$ . Sapendo che $sin(alpha) = 3/4$  …

Nel triangolo  $ABC$  l’angolo di vertice  $A$  ha ampiezza  $alpha$  e l’angolo in  $B$  è di  $30°$ .

Sapendo che    $sin(alpha) = 3/4$    determinare le funzioni goniometriche dell’angolo in  $C$  nei due casi:

a)  $alpha$  è acuto;

b)  $alpha$ è ottuso.

Verificare che in entrambi i casi il triangolo è ottusangolo.

 

Svolgimento (a)

 

 

Nel caso in cui l’angolo in  $A$  sia acuto, determiniamo il suo coseno:

$ cos(alpha) = sqrt(1 – sin^2(alpha)) = sqrt(1 – (3/4)^2) = $

$ sqrt(1 – frac(9)(16)) = sqrt(frac(16-9)(16))  = frac(sqrt7)(4) $

Essendo la somma degli angoli interni di un triangolo  $180°$, sappiamo che l’angolo  $gamma$ vale:

$ gamma = 180° – (alpha + \hat{B}) = 180° – (alpha + 30°) $

$ cos (gamma) = cos [180° – (alpha + 30°)] $

Ricorrendo agli angoli associati, possiamo subito scrivere:

$ cos (gamma) = cos [180° – (alpha + 30°)] = – cos(alpha + 30°) $

Applichiamo ora la formula di addizione del coseno:

$ – cos(alpha + 30°)  = – (cos(alpha)cos(30°) – sin(alpha) sin(30°)) = – cos(alpha)cos(30°) + sin(alpha) sin(30°) = $

$ – frac(sqrt7)(4) * frac(sqrt3)(2) + 3/4 * 1/2 = – frac(sqrt(21))(8) + 3/8 = frac(3 – sqrt(21))(8) $

Abbiamo ottenuto un risultato negativo, poiché   $frac(3 – sqrt(21))(8) $  è minore di zero.

Possiamo affermare quindi che l’angolo  $gamma $  è un angolo ottuso; calcoliamo il suo seno:

$ sin (gamma) = sin [180° – (alpha + 30°)] = sin(alpha + 30°) $

Applichiamo ora la formula di addizione del seno:

$ sin(alpha + 30°) = sin(alpha) cos(30°) + cos(alpha) sin(30°) = $

$ 3/4 * frac(sqrt3)(2)  + frac(sqrt7)(2) * 1/2 = frac(3sqrt3)(8) + frac(sqrt7)(8) = $

$ frac(3sqrt3 + sqrt7)(8) $

 

Svolgimento (b)

 

 

Calcoliamo il coseno dell’angolo in A, tenendo presente che, poiché l’angolo è ottuso, il coseno sarà negativo:

$ cos(alpha) = – sqrt(1 – sin^2(alpha)) =  – sqrt(1 – (3/4)^2) = $

$ – sqrt(1 – frac(9)(16)) =  – sqrt(frac(16-9)(16))  =  – frac(sqrt7)(4) $

Allo stesso modo, calcoliamo le funzioni goniometriche dell’angolo  $gamma$:

$ gamma = 180° – (alpha + \hat{B}) = 180° – (alpha + 30°) $

$ cos (gamma) = cos [180° – (alpha + 30°)] $

Ricorrendo agli angoli associati, possiamo subito scrivere:

$ cos (gamma) = cos [180° – (alpha + 30°)] = – cos(alpha + 30°) $

Applichiamo ora la formula di addizione del coseno:

$ – cos(alpha + 30°)  = – (cos(alpha)cos(30°) – sin(alpha) sin(30°)) = – cos(alpha)cos(30°) + sin(alpha) sin(30°) = $

$ – ( – frac(sqrt7)(4)) * frac(sqrt3)(2) + 3/4 * 1/2 = frac(sqrt(21))(8) + 3/8 = frac(3 + sqrt(21))(8) $

$ sin (gamma) = sin [180° – (alpha + 30°)] = sin(alpha + 30°) $

Applichiamo ora la formula di addizione del seno:

$ sin(alpha + 30°) = sin(alpha) cos(30°) + cos(alpha) sin(30°) = $

$ 3/4 * frac(sqrt3)(2)  – frac(sqrt7)(2) * 1/2 = frac(3sqrt3)(8) – frac(sqrt7)(8) = $

$ frac(3sqrt3 – sqrt7)(8) $

In questo caso, quindi, l’angolo  $gamma$  è acuto; tuttavia, è presente comunque nel triangolo un angolo ottuso, cioè l’angolo  $alpha$ .

In ogni caso, quindi, avremmo a che fare con un triangolo ottusangolo.

 

 

 

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