_francesca.ricci
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Sia
[math]AC = 6/5 r [/math]
la lunghezza della corda
[math]AD[/math]
della semicirconferenza di centro
[math]O[/math]
e diametro
[math]AB = 2r[/math]
. Siamo inoltre t la tangente in
[math]C[/math]
alla semicirconferenza ed
[math]R[/math]
e
[math]S[/math]
i punti d'intersezione di
[math]t[/math]
con il prolungamento di
[math]AB[/math]
e con la tangente in
[math]B[/math]
alla semicirconferenza. Calcolare il perimetro del triangolo
[math]RBS[/math]
.

Svolgimento

Consideriamo i triangoli
[math]ABC[/math]
e
[math]RAC[/math]
.
Possiamo affermare che
[math]hat{RCA} = hat{ABC}[/math]
, poiché l'angolo formato dalla tangente e da una corda della circonferenza è uguale all'angolo alla circonferenza che insiste su quella corda.

[math]ABC[/math]
è un triangolo rettangolo, poiché inscritto in una semicirconferenza; possiamo quindi ricavare il valore del seno di
[math]hat{ABC}[/math]
dal primo teorema sui triangoli rettangoli:

[math]\\sin (hat{ABC}) = \\sin(hat{RCA}) = frac(AC)(AB) = frac(6/5 r)(2r) = 6/5 r \cdot 1/(2r) = 3/5 [/math]

Allo stesso modo, ricaviamo il coseno di

[math]hat{CAB}[/math]

[math]\\sin (hat{CAB}) = frac(AC)(AB) = frac(6/5 r)(2r) = 6/5 r \cdot 1/(2r) = 3/5 [/math]

Dalla relazione fondamentale, ricaviamo anche il suo seno:

[math]\\sin (hat{CAB}) = \sqrt{1 - \\cos^2(hat{CAB})} = \sqrt(1 - (3/5)^2) = \sqrt(1 - 9/(25)) = [/math]

[math] \sqrt{(16)/(25)} = 4/5 [/math]

Consideriamo ora l'angolo

[math]hat{RAC} [/math]
:

[math] hat{RAC} = 180° - hat{CAB} [/math]

Troviamo il seno di quest'angolo:

[math] \\sin (hat{RAC}) = \\sin(180° - hat{CAB}) [/math]

Considerando gli angoli associati, possiamo concludere che:

[math] \\sin (180° - hat{CAB}) = \\sin (hat{CAB}) [/math]

Quindi:

[math] \\sin (hat{RAC}) = 4/5 [/math]

Sarà quindi uguale anche il loro coseno, ma cambiato di segno, poiché questo angolo è ottuso:

[math] \\cos (hat{RAC}) = - 3/5 [/math]

Calcoliamo ora il seno di

[math]hat{CRA}[/math]
:

[math] hat{CRA} = 180° - [hat{RCA} + hat{RAC}] [/math]

[math] \\sin (hat{CRA}) = \\sin{180° - [hat{RCA} + hat{RAC}]} [/math]

[math] \\sin (hat{CRA}) = \\sin (hat{RCA} + hat{RAC}) [/math]

Applichiamo le formule di addizione del seno:

[math] \\sin (hat{RCA} + hat{RAC}) = \\sin(hat{RCA}) \\cos(hat{RAC}) + \\cos(hat{RCA}) \\sin(hat{RAC}) [/math]

Ricordiamo che

[math]hat{RCA} = hat{ABC}[/math]
, quindi anche le loro funzioni goniometriche sono uguali:

[math] 3/5 \cdot (-3/5) + 4/5 \cdot 4/5 = - 9/(25) + (16)/(25) = 7/(25) [/math]

Determiniamo anche il suo coseno:

[math] \\cos (hat{CRA}) = \sqrt{1 - \\sin ^2(hat{CRA})} = \sqrt(1 - (7/(25))^2) = \sqrt(1 - (49)/(625)) = [/math]

[math] \sqrt{frac(576)(625)} = frac(24)(25) [/math]

Ora, applichiamo il teorema dei seni al triangolo

[math]RAC[/math]
per trovare il lato
[math]RA[/math]
:

[math] frac(CA)(\\sin (hat{CRA})) = frac(RA)(\\sin (hat{RCA})) \to [/math]

[math] RA = frac(CA \cdot \\sin (hat{RCA}))(\\sin (hat{CRA})) = frac(3/5 \cdot 6/5 r)(7/(25)) = frac(18)(7) r [/math]

Possiamo quindi trovare la misura di uno dei cateti del triangolo

[math]RSB[/math]
:

[math] RB = RA + AB = 2r + frac(18)(7) r = frac(32)(7) r [/math]

Sapendo che il triangolo

[math]RSA[/math]
è rettangolo (poiché la tangente per il punto
[math]B[/math]
è perpendicolare al diametro
[math]AB[/math]
), possiamo ricavare la lunghezza dell'ipotenusa, applicando il primo teorema dei triangoli rettangoli:

[math] RB = RS \cdot \\cos (hat{CRA}) \to RS = frac(RB)(\\cos (hat{CRA})) [/math]

[math] RS = frac(frac(32)(7) r)(frac(24)(25)) = frac(32)(7) r \cdot frac(25)(24) = frac(100)(21) r [/math]

Ora, mediante il teorema di Pitagora, troviamo la lunghezza dell'altro cateto:

[math] SB = \sqrt{RS^2 - RB^2} = \sqrt((frac(100)(21) r)^2 - (frac(32)(7) r)^2) = [/math]

[math] \sqrt{frac(10000)(441) r^2 - frac(1024)(49) r^2} = \sqrt(frac(784)(441) r^2) = frac(28)(21) r [/math]

Calcoliamo il perimetro del triangolo:

[math] P_(RBS) = SB + RS + RB = frac(28)(21) r + frac(100)(21) r + frac(32)(7) r = [/math]

[math] frac(28 + 100 + 96)(21) r = frac(224)(21) r = frac(32)(3) r [/math]