Sia $AC = 6/5 r $  la lunghezza della corda  $AD$  della semicirconferenza di centro  $O$  e diametro $AB = 2r$. Siamo inoltre t la tangente in  $C$ alla semicirconferenza ed  $R$ e $S$ i punti d’intersezione di  $t$  con il prolungamento di  $AB$  e con la tangente in  $B$ alla semicirconferenza. Calcolare il perimetro del triangolo  $RBS$.

Sia $AC = 6/5 r $  la lunghezza della corda  $AD$  della semicirconferenza di centro  $O$  e diametro $AB = 2r$. Siamo inoltre t la tangente in  $C$ alla semicirconferenza ed  $R$ e $S$ i punti d’intersezione di  $t$  con il prolungamento di  $AB$  e con la tangente in  $B$ alla semicirconferenza. Calcolare il perimetro del triangolo  $RBS$.

 

 

Svolgimento

Consideriamo i triangoli  $ABC$  e  $RAC$. Possiamo affermare che  $\hat{RCA} = \hat{ABC}$, poiché l’angolo formato dalla tangente e da una corda della circonferenza è uguale all’angolo alla circonferenza che insiste su quella corda.

$ABC$  è un triangolo rettangolo, poiché inscritto in una semicirconferenza; possiamo quindi ricavare il valore del seno di $\hat{ABC}$  dal primo teorema sui triangoli rettangoli:

$sin(\hat{ABC}) = sin(\hat{RCA}) = frac(AC)(AB) = frac(6/5 r)(2r) = 6/5 r * 1/(2r) = 3/5 $

Allo stesso modo, ricaviamo il coseno di  $\hat{CAB}$

$sin(\hat{CAB}) = frac(AC)(AB) = frac(6/5 r)(2r) = 6/5 r * 1/(2r) = 3/5 $

Dalla relazione fondamentale, ricaviamo anche il suo seno:

$sin(\hat{CAB}) = sqrt(1 – cos^2(\hat{CAB})) = sqrt(1 – (3/5)^2) = sqrt(1 – 9/(25)) = $

$ sqrt((16)/(25)) = 4/5 $

Consideriamo ora l’angolo $\hat{RAC} $ :

$ \hat{RAC} = 180° – \hat{CAB} $

Troviamo il seno di quest’angolo:

$ sin (\hat{RAC}) =  sin(180° – \hat{CAB}) $

Considerando gli angoli associati, possiamo concludere che:

$  sin(180° – \hat{CAB}) = sin (\hat{CAB}) $

Quindi:

$ sin (\hat{RAC}) = 4/5 $

Sarà quindi uguale anche il loro coseno, ma cambiato di segno, poiché questo angolo è ottuso:

$ cos (\hat{RAC}) = – 3/5 $

Calcoliamo ora il seno di  $\hat{CRA}$ :

$ \hat{CRA} = 180° – [\hat{RCA} + \hat{RAC}] $

$ sin(\hat{CRA}) = sin{180° – [\hat{RCA} + \hat{RAC}]} $

$ sin(\hat{CRA}) = sin (\hat{RCA} + \hat{RAC}) $

Applichiamo le formule di addizione del seno:

$ sin (\hat{RCA} + \hat{RAC}) = sin(\hat{RCA}) cos(\hat{RAC})  + cos(\hat{RCA}) sin(\hat{RAC}) $

Ricordiamo che  $\hat{RCA} = \hat{ABC}$ , quindi anche le loro funzioni goniometriche sono uguali:

$ 3/5 * (-3/5) + 4/5 * 4/5 = – 9/(25) + (16)/(25) = 7/(25) $

Determiniamo anche il suo coseno:

$ cos (\hat{CRA}) = sqrt(1 – sin^2(\hat{CRA})) = sqrt(1 – (7/(25))^2) = sqrt(1 – (49)/(625)) = $

$ sqrt(frac(576)(625)) = frac(24)(25) $

Ora, applichiamo il teorema dei seni al triangolo  $RAC$  per trovare il lato  $RA$ :

$ frac(CA)(sin (\hat{CRA})) = frac(RA)(sin (\hat{RCA}))     to  $

$ RA = frac(CA * sin (\hat{RCA}))(sin (\hat{CRA})) = frac(3/5 * 6/5 r)(7/(25)) = frac(18)(7) r $

Possiamo quindi trovare la misura di uno dei cateti del triangolo  $RSB$:

$ RB = RA + AB = 2r + frac(18)(7) r = frac(32)(7) r $

Sapendo che il triangolo  $RSA$  è rettangolo (poiché la tangente per il punto  $B$  è perpendicolare al diametro  $AB$), possiamo ricavare la lunghezza dell’ipotenusa, applicando il primo teorema dei triangoli rettangoli:

$ RB = RS * cos (\hat{CRA})    to   RS = frac(RB)(cos (\hat{CRA}))  $

$ RS = frac(frac(32)(7) r)(frac(24)(25)) = frac(32)(7) r * frac(25)(24) = frac(100)(21) r $

Ora, mediante il teorema di Pitagora, troviamo la lunghezza dell’altro cateto:

$ SB = sqrt(RS^2 – RB^2) = sqrt((frac(100)(21) r)^2 – (frac(32)(7) r)^2) = $

$ sqrt(frac(10000)(441) r^2 – frac(1024)(49) r^2) = sqrt(frac(784)(441) r^2) = frac(28)(21) r $

Calcoliamo il perimetro del triangolo:

$ P_(RBS) = SB + RS + RB =  frac(28)(21) r + frac(100)(21) r + frac(32)(7) r = $

$ frac(28 + 100 + 96)(21) r = frac(224)(21) r = frac(32)(3) r $

 

 

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