Risolvere un triangolo rettangolo sapendo che l’ipotenusa è di $12cm$ e l’area di $18sqrt3cm^2$

Risolvere un triangolo rettangolo sapendo che l’ipotenusa è di $12cm$ e l’area di $18sqrt3cm^2$


Svolgimentotrian_rett_trig.png

 

 

 

 

 

 

Dati
$alpha=90^circ$
$a=12cm$
$A=18sqrt3cm^2$

La somma degli angoli interni di un triangolo è di $180^circ$, ovvero
$alpha+eta+gamma=180^circ$
si ha che
$90^circ+eta+gamma=180^circ => eta+gamma=180^circ-90^cir=90^circ$.
In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa
per il seno dell’angolo opposto al cateto stesso.
$b=asin(eta)$, inoltre l’area di un triangolo è data dal semiprodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso:
$A=1/2absin(gamma)=120cm^2$.
Mettiamo a sistema le due equazioni ricavate e riolviamolo per sostituzione
${(1/2absin(gamma)=18sqrt3),(b=asin(eta)):}$;
${(1/2a(asin(eta))sin(gamma)=18sqrt3),(b=asin(eta)):}$;
${(1/2a^2sin(eta)sin(gamma)=18sqrt3),(b=asin(eta)):}$;
${(1/2a^2sin(eta)sin(gamma)=18sqrt3),(b=asin(eta)):}$;
${(1/2a^2*1/2[cos(eta+gamma)-cos(eta-gamma)]=18sqrt3),(b=asin(eta)):}$;
${(1/2(12)^2*1/2[cos(90^circ)-cos(eta-gamma)]=18sqrt3),(b=asin(eta)):}$;
${(1/2*144*(-1/2)cos(eta-gamma)=18sqrt3),(b=asin(eta)):}$;
${(36cos(eta-gamma)=18sqrt3),(b=asin(eta)):}$;
${(cos(eta-gamma)=1/2sqrt3),(b=asin(eta)):}$;

Quindi $cos(eta-gamma)=1/2sqrt3 => eta-gamma=arccos(1/2sqrt3)=30^circ$.
Quindi sappiamo che $eta-gamma=30^circ, eta+gamma=90^circ$
Mettiamo a sistema le due equazioni trovate, e risolviamolo per sostituzione
${((eta+gamma)=90^circ),((eta-gamma)=30^circ):}$;
${(gamma=90^circ-eta),((eta-90^circ+eta)=30^circ):}$;
${(gamma=90^circ-eta),(2(eta)=120^circ):}$;
${(gamma=90^circ-60^circ=30^circ),((eta)=60^circ):}$

In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa
per il seno dell’angolo opposto al cateto stesso.
$b=asin(eta)=12cm*sin(60^circ)=12cm*1/2sqrt3=6sqrt3cm$
$c=asin(gamma)=12cm*sin(30^circ)=12cm*1/2=6cm$.

 

Commenti

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C'è un commento su questo articolo:

  1. Mi spiace intervenire nuovamente, ma mi sembra che la soluzione proposta sia ancora una volta una notevole complicazione.
    Se invece c1 = 12 senj e cateto c2= 12 sen(90-j)= 12 cosj.
    Allora l’area è c1 * c2 e quindi 72 sen(2j) = 36 rad3
    da cui sen (2j) = rad3/2 quindi 2j = 60 e j=30.
    Ho l’impressione che il solutore non prenda in considerazione soluzioni più immediate.