Risolvere un triangolo rettangolo sapendo che l'ipotenusa è di
[math]12cm[/math]
e l'area di [math]18\sqrt3cm^2[/math]
Svolgimento
Dati
[math]alpha=90^circ[/math]
[math]a=12cm[/math]
[math]A=18\sqrt3cm^2[/math]
La somma degli angoli interni di un triangolo è di
[math]180^circ[/math]
, ovvero[math]alpha+eta+gamma=180^circ[/math]
si ha che
[math]90^circ+eta+gamma=180^circ => eta+gamma=180^circ-90^cir=90^circ[/math]
.In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa
per il seno dell'angolo opposto al cateto stesso.
[math]b=a\\sin (eta)[/math]
, inoltre l'area di un triangolo è data dal semiprodotto di due lati per il seno dell'angolo compreso:[math]A=1/2ab\\sin (gamma)=120cm^2[/math]
.Mettiamo a sistema le due equazioni ricavate e riolviamolo per sostituzione
[math]\begin{cases} 1/2ab\\sin (gamma)=18\sqrt3 \ \end{cases}[/math]
;[math]\begin{cases} 1/2a(a\\sin (eta))\\sin(gamma)=18\sqrt3 \ \end{cases}[/math]
;[math]\begin{cases} 1/2a^2\\sin (eta)\\sin(gamma)=18\sqrt3 \ \end{cases}[/math]
;[math]\begin{cases} 1/2a^2\\sin (eta)\\sin(gamma)=18\sqrt3 \ \end{cases}[/math]
;[math]\begin{cases} 1/2a^2 \cdot 1/2[\\cos(eta+gamma)-\\cos(eta-gamma)]=18\sqrt3 \ \end{cases}[/math]
;[math]\begin{cases} 1/2(12)^2 \cdot 1/2[\\cos(90^circ)-\\cos(eta-gamma)]=18\sqrt3 \ \end{cases}[/math]
;[math]\begin{cases} 1/2 \cdot 144 \cdot (-1/2)\\cos(eta-gamma)=18\sqrt3 \ \end{cases}[/math]
;[math]\begin{cases} 36\\cos(eta-gamma)=18\sqrt3 \ \end{cases}[/math]
;[math]\begin{cases} \\cos(eta-gamma)=1/2\sqrt3 \ \end{cases}[/math]
; Quindi
[math]\\cos(eta-gamma)=1/2\sqrt3 => eta-gamma=arc\\cos{1/2\sqrt3}=30^circ[/math]
.Quindi sappiamo che
[math]eta-gamma=30^circ, eta+gamma=90^circ[/math]
Mettiamo a sistema le due equazioni trovate, e risolviamolo per sostituzione
[math]\begin{cases} (eta+gamma)=90^circ \\ (eta-gamma)=30^circ \ \end{cases}[/math]
;[math]\begin{cases} gamma=90^circ-eta \\ (eta-90^circ+eta)=30^circ \ \end{cases}[/math]
;[math]\begin{cases} gamma=90^circ-eta \\ 2(eta)=120^circ \ \end{cases}[/math]
;[math]\begin{cases} gamma=90^circ-60^circ=30^circ \\ (eta)=60^circ \ \end{cases}[/math]
In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa
per il seno dell'angolo opposto al cateto stesso.
[math]b=a\\sin (eta)=12cm \cdot \\sin(60^circ)=12cm \cdot 1/2\sqrt3=6\sqrt3cm[/math]
[math]c=a\\sin (gamma)=12cm \cdot \\sin(30^circ)=12cm \cdot 1/2=6cm[/math]
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