Un triangolo ha una base lunga   $3 + sqrt3$  e gli angoli ad essa adiacenti di  $45°$  e  $60°$ . Trovare le lunghezze degli altri due lati …

Un triangolo ha una base lunga   $3 + sqrt3$  e gli angoli ad essa adiacenti di  $45°$  e  $60°$ . Trovare le lunghezze degli altri due lati e i segmenti in cui la base data viene divisa dall’altezza ad essa relativa.

 

 

Svolgimento

Per prima cosa, troviamo l’ampiezza del terzo angolo, sapendo che la somma degli angoli interni di un triangolo è  $180°$ :

$\hat{ACB} = 180° – (\hat{CAB} + \hat{CBA}) = 180° – (45° + 60°) = $

$ 180° – 105° = 75° $

Per trovare gli altri due lati del triangolo possiamo applicare il teorema dei seni, secondo il quale il rapporto fra un lato ed il seno dell’angolo opposto è costante:

$ frac(AC)(sin(\hat{CBA})) = frac(AB)(sin(\hat{ACB})) $

Ricaviamo il lato  $AC$ :

$ AC = frac(AB * sin(\hat{CBA}))(sin(\hat{ACB})) = frac((3 + sqrt3) * sin(60°))(sin(75°))  $

Un angolo di $75°$  non è un angolo noto, quindi non conosciamo il suo seno; tuttavia possiamo ricavarlo scomponendo l’angolo di  $75°$  in un angolo di  $30°+45°$ :

$ sin(75°) = sin(30°+45°)$

Applichiamo ora la formula di addizione del seno:

$ sin(75°) = sin(30°+45°) = sin(30°) cos(45°) + cos(30°) sin(45°)  $

$ = 1/2 * frac(sqrt2)(2) + frac(sqrt3)(2) * frac(sqrt2)(2)  = $

$ frac(sqrt2)(4) + frac(sqrt6)(4) = frac(sqrt2 + sqrt6)(4) $

Sostituiamo il valore trovato nell’uguaglianza precedente:

$ AC = frac((3 + sqrt3) * frac(sqrt3)(2))(frac(sqrt2 + sqrt6)(4)) = frac(frac(3 + 3sqrt3)(2))(frac(sqrt2 + sqrt6)(4)) = $

$ frac(3 + 3sqrt3)(2) * frac(4)(sqrt2 + sqrt6) = frac(2*(3 + 3sqrt3))(sqrt2 + sqrt6) $

Razionalizziamo:

$ frac(2*(3 + 3sqrt3))(sqrt2 + sqrt6)  * frac(sqrt2 – sqrt6)(sqrt2 – sqrt6) = $

$ frac(2*(3 + 3sqrt3)(sqrt2 – sqrt6))((sqrt2 + sqrt6)(sqrt2 – sqrt6)) = $

$ frac(2*(3sqrt6 – 3sqrt(18) + 3sqrt2 – 3sqrt6))((sqrt2)^2 – (sqrt6)^2) = $

$ frac(2*(- 3sqrt(18) + 3sqrt2))(2 – 6) = frac(2*(- 9sqrt2 + 3sqrt2))(- 4) = frac(- 9sqrt2 + 3sqrt2)(- 2) = $

$ – frac(- 6sqrt2)(-2) = 3sqrt2 $

Con lo stesso procedimento possiamo ricavare l’altro lato:

$ frac(BC)(sin(\hat{CAB})) = frac(AB)(sin(\hat{ACB})) $

$ BC = frac(AB * sin(\hat{CAB}))(sin(\hat{ACB})) = frac((3 + sqrt3) * sin(45°))(sin(75°)) = $

$ frac((3 + sqrt3) * frac(sqrt2)(2))(frac(sqrt2 + sqrt6)(4)) = frac(frac(3sqrt2 + sqrt6)(2))(frac(sqrt2 + sqrt6)(4)) = $

$ frac(3sqrt2 + sqrt6)(2) * frac(4)(sqrt2 + sqrt6) = frac(2(3sqrt2 + sqrt6))(sqrt2 + sqrt6)  $

Razionalizziamo:

$ frac(2*(3sqrt2 + sqrt6))(sqrt2 + sqrt6)  * frac(sqrt2 – sqrt6)(sqrt2 – sqrt6) = $

$ frac(2*(3sqrt2 + sqrt6)(sqrt2 – sqrt6))((sqrt2 + sqrt6)(sqrt2 – sqrt6)) = $

$ frac(2(6 – 3sqrt(12) + sqrt(12) – 6))((sqrt2)^2 – (sqrt6)^2) = $

$ frac(2 (-2 sqrt(12)))(2 – 6) = frac(- 4 sqrt(12))(- 4) = sqrt(12) = 2 sqrt3  $

Ora, considerando i triangoli rettangoli  $AHC$  e  $BHC$ , possiamo determinare le lunghezze dei segmenti creati sulla base dall’altezza, mediante il primo teorema della trigonometria:

$ AH = AC * cos(45°) = 3 sqrt2 * frac(sqrt2)(2) = 6/2 = 3$

$ BH = BC * cos(60°) = 2 sqrt3 * frac(1)(2) = sqrt3$

 

 

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