Il un triangolo due lati  $AB$  e  $BC$  misurano rispettivamente  $2°$  e  $3°$ ed è $ cos(\hat{ABC}) = – 1/5 $ . Detta  $H$  la proiezione di  $C$  sulla retta  $AB$ , calcolare il perimetro del triangolo  $AHC$.

Il un triangolo due lati  $AB$  e  $BC$  misurano rispettivamente  $2°$  e  $3°$ ed è $ cos(\hat{ABC}) = – 1/5 $ .

Detta  $H$  la proiezione di  $C$  sulla retta  $AB$ , calcolare il perimetro del triangolo  $AHC$.

 

 

Svolgimento

Ricaviamo il lato  $AC$  del triangolo  $ABC$  mediante il teorema del coseno:

$ AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2 * AB * BC * cos(\hat{ABC})$

$ AC^2 = (2a)^2 + (3a)^2 – 2 * 2a * 3a * (- 1/5) = 4a^2 + 9a^2 + (12)/5 a^2 = (77)/5 a^2$

Quindi:

$ AC = sqrt( (77)/5 a^2 ) = sqrt((77)/5) a $

Consideriamo ora il triangolo rettangolo  $CHB$ : possiamo trovare il valore del cateto  $CH$  mediante il primo teorema sui triangoli rettangoli:

$ CH = BC * sin(\hat{ABC}) $

Ricaviamo quindi  $sin(\hat{ABC}) $  dalla relazione fondamentale:

$ sin(\hat{ABC}) =sqrt(1 – cos^2 (\hat{ABC})) = sqrt(1 – (- 1/5)^2) = $

$ sqrt(1 – 1/(25)) = sqrt(frac(24)(25)) = frac(2 sqrt6)(5) $

$ CH = BC * sin(\hat{ABC}) = 3a * frac(2 sqrt6)(5)  = frac(6 sqrt6)(5) a $

Il triangolo  $AHC$  è rettangolo, poiché uno dei suoi cateti è costituito dal segmento  $CH$ , cioè l’altezza del triangolo  $ABC$  relativa al lato  $AB$.

Avendo le lunghezze dei lati  $AC$  e  $CH$ , possiamo trovare con il teorema di Pitagora il cateto  $AH$ :

$ AH = sqrt(CA^2 – CH^2) = sqrt((sqrt((77)/5) a)^2 – (frac(6 sqrt6)(5) a)^2 ) = $

$ sqrt( frac(77)(5) a^2 – frac(216)(25) a^2) = sqrt(frac(385 – 216)(25) a^2) =$

$ sqrt(frac(169)(25) a^2) = frac(13)(5) a$

Possiamo ora determinare il perimetro del triangolo  $AHC$ :

$ P_(AHC) = AH + HC + CA = frac(13)(5) a + frac(6 sqrt6)(5) a + frac(sqrt(77))(sqrt5) a = $

$ frac(13sqrt5 a + 6 sqrt(30) a + 5 sqrt(77) a)(5sqrt5)$

Razionalizziamo:

$ frac(13sqrt5 a + 6 sqrt(30) a + 5 sqrt(77) a)(5sqrt5) * frac(sqrt5)(sqrt5) = $

$ frac((13sqrt5 a + 6 sqrt(30) a + 5 sqrt(77) a) * sqrt5)(5sqrt5 * sqrt5) = $

$ frac(65a + 6 sqrt(150) a + 5 sqrt(385) a)(25) = frac(65a + 30 sqrt(6) a + 5 sqrt(385) a)(25) $

Mettiamo in evidenza 5 e semplifichiamo:

$ frac(5 ( 13a + 6 sqrt(6) a + sqrt(385) a))(25) = frac(13a + 6 sqrt(6) a + sqrt(385) a)(5) $

 

 

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