Data una matrice
[math]A \in \mathbb{R}^{n imes n}[/math]
, gli autovalori, reali o complessi, di
[math]A[/math]
sono tutte e sole le costanti
[math]\lambda \in \mathbb{C}[/math]
tali per cui la matrice
[math]\lambda I - A[/math]
risulta singolare (
[math]I[/math]
è la matrice identità dello stesso ordine di
[math]A[/math]
).
Calcolo degli autovalori
1) A partire dalla matrice
[math]A[/math]
, il primo passo è quello di costruire la matrice
[math]\lambda I - A[/math]
, e di calcolarne il determinante.
Tale determinante si chiama polinomio caratteristico, e si indica con
[math]p(\lambda)[/math]
.
2) Come secondo passo si risolve l'equazione
[math]p(\lambda) = 0[/math]
; le soluzioni di tale equazione sono gli autovalori di
[math]A[/math]
.
3) Se
[math]\lambda_i[/math]
è una radice del polinomio caratteristico, quindi un autovalore, si dice molteplicità algebrica di
[math]\lambda_i[/math]
la molteplicità di
[math]\lambda_i[/math]
come radice del polinomio caratteristico.
Dato che
[math]A \in \mathbb{R}^{n imes n}[/math]
, il polinomio caratteristico è un polinomio a coefficienti reali di grado
[math]n[/math]
. Questo vuol dire che ammette esattamente
[math]n[/math]
radici in
[math]\mathbb{C}[/math]
, ognuna contata con la sua molteplicità , e inoltre se
[math]\lambda_i[/math]
è una radice complessa di
[math]p(\lambda)[/math]
, allora anche
[math]\bar{\lambda_i}[/math]
è radice di
[math]p(\lambda)[/math]
.
Quindi una matrice quadrata a coefficienti reali di ordine
[math]n[/math]
ha esattamente
[math]n[/math]
autovalori (reali o complessi) ognuno contato con la sua molteplicità , e inoltre se
[math]\lambda_i[/math]
è un autovalore complesso, allora anche il suo complesso coniugato è un autovalore.
Esempio: calcolare gli autovalori (reali o complessi) della matrice
[math]A = ((0, \quad 1, \quad 0),(-2, \quad -3, \quad \frac{1}{2}),(0, \quad 0, \quad 0))[/math]
Per prima cosa si costruisce la matrice
[math]\lambda I - A[/math]
[math]\lambda I - A = \lambda ((1, \quad 0, \quad 0),(0, \quad 1, \quad 0),(0, \quad 0, \quad 1)) - ((0, \quad 1, \quad 0),(-2, \quad -3, \quad \frac{1}{2}),(0, 0, 0)) = ((\lambda, \quad 0, \quad 0),(0, \quad \lambda, \quad 0),(0, \quad 0, \quad \lambda)) - ((0, \quad 1, \quad 0),(-2, \quad -3, \quad \frac{1}{2}),(0, 0, 0)) = ((\lambda, \quad -1, \quad 0),(2, \quad \lambda + 3, \quad -\frac{1}{2}),(0, \quad 0, \quad \lambda))[/math]
Adesso occorre calcolare il determinante di questa matrice: sviluppando rispetto all'ultima riga si ottiene
[math]p(\lambda) = \lambda \cdot det((\lambda, \quad -1),(2, \quad \lambda + 3)) = \lambda (\lambda^2 + 3 \lambda + 2)[/math]
Ponendo
[math]p(\lambda = 0)[/math]
si ottiene
[math]\lambda (\lambda^2 + 3 \lambda + 2) = 0[/math]
, da cui
[math]\lambda_1 = 0[/math]
[math]\lambda^2 + 3 \lambda + 2 = 0 \implies \lambda_2 = -2, \quad \lambda_3 = -1[/math]
Quindi gli autovalori di
[math]A[/math]
sono
[math]-2, -1, 0[/math]
, ed hanno tutti molteplicità algebrica pari a uno.