Coordinate polari nel piano

Le coordinate polari sono un sistema di coordinate nel piano determinato da un punto $O$, detto polo, e da una semiretta avente origine in $O$ detta asse polare. Un generico punto $P$ del piano è univocamente determinato da due parametri

1) la distanza dal polo, cioè la lunghezza del segmento $PO$, indicata con $
ho$

2) la misura in radianti dell’angolo, indicata con $ heta$, che l’asse polare forma con la retta $OP$, partendo da $O$ e spostandosi in senso antiorario.

Da questo si deduce che $
ho in mathbb{R}^+$ e $ heta in [0, 2 pi)$ (o comunque in ogni altro intervallo $[a, b)$ tale che $b – a = 2 pi$).

coordinate_polari.gif
 Si può passare dalle coordinate polari $(
ho, heta)$ alle coordinate cartesiane $(x,y)$ mediante queste relazioni
 
${(x =
ho cos( heta)),(y =
ho sin( heta)):}$
 
Analogamente si può passare dalle coordinate cartesiane alle polari osservando che $
ho = sqrt{x^2 + y^2}$ e che, considerando $ heta in [0, 2 pi)$
 
$ heta = {("arctg"(frac{y}{x}), quad "se " x > 0 " e " y ge 0),("arctg"(frac{y}{x}) + 2 pi, quad "se " x > 0 " e " y > 0),("arctg"(frac{y}{x}) + pi, quad "se " x < 0),(frac{pi}{2}, quad "se " x = 0 " e " y > 0),(frac{3 pi}{2}, quad "se " x = 0 " e " y < 0):}$
 

Esempio

Equazione della circonferenza: l’equazione di una circonferenza in coordinate polari con centro in $(
ho_0, heta_0)$ e raggio $R$ è

$
ho^2 + 2
ho
ho_0 cos( heta – heta_0) +
ho_0^2 = R^2$

 

Commenti

commenti

Ci sono 2 commenti su questo articolo:

  1. l’ultima equazione mi sembra avere un segno sbagliato. Non dovrebbe essere rho^2 – 2 * rho * rho0 …?

  2. Grazie !!! Sul mio libro c’ era scritto:
    rho^2 – rho * rho0 … ecc
    Io mezz’ ora a ricontrollare i calcoli, meno male che ho trovato questa pagina…
    Certo che i libri dell’ università li controllassero un pò meglio :sad: