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di _Tipper
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In questo appunta si affronteranno i teoremi principali delle derivate di una funzione e verrà presentata la tabelle delle derivate fondamentali. Si ricorda che la derivata di una funzione viene definita come il limite del rapporto incrementale della funzione calcolata nel punto, quando l'incremento tende a zero.

Proprietà delle derivate

Quando si studia il concetto di derivata si introducono i concetti di continuità, derivabilità, crescenza e decrescenza di una funzione in base alla derivata stessa, ricerca di punti critici, e dunque massimi e minimi di una funzione.
Questi concetti vengono espressi attraverso diversi teoremi e relazioni:
  • Relazione tra continuità e derivabilità;
  • Teorema sulla crescenza e decrescenza di una funzione;
  • Teorema di Fermat;
  • Teorema di Weierstrass;
  • Teorema di Rolle.

Punti stazionari

  • Un punto critico è tale se annulla il valore di derivata, e corrisponde ad un valore estremante della funzione (massimo o minimo, assoluto o relativo).
  • Si parla di massimo relativo di una funzione in
    [math]x_0[/math]
    se la funzione è crescente per
    [math]x e decrescente per
    [math]x>x_0[/math]
    , quindi il segno della derivata è positivo a sinistra di
    [math]x_0[/math]
    e negativo alla sua destra.
  • Si ha un minimo relativo in
    [math]x_0[/math]
    se la funzione è decrescente per
    [math]x e crescente per
    [math]x>x_0[/math]
    , quindi il segno della derivata è positivo a destra di
    [math]x>x_0[/math]
    e negativo alla sua sinistra
  • Se
    [math]y = f(x)[/math]
    ha un massimo o minimo relativi nel punto x0 appartenente a D ed in tale punto
    [math]x_0[/math]
    è derivabile.

    • Relazione tra continuità e derivabilità

    • Si consideri una funzione
      [math]y = f(x)[/math]
      , se la funzione è derivabile nel punto
      [math]x_0[/math]
      , allora la funzione sarà certamente continua in quel punto.
    • Si consideri una funzione
      [math]y = f(x)[/math]
      , Se la funzione è continua nel punto
      [math]x_0[/math]
      , allora non è detto che la funzione sia derivabile in quel punto.
    • La continuità è una condizione necessaria affinché la funzione sia derivabile.
    • La derivabilità è una condizione sufficiente affinché la funzione sia continua.
    • La continuità in un punto
      [math]x_0[/math]
      non garantisce che nel medesimo punto sia anche derivabile. Tuttavia, non essendo continua in
      [math]x_0[/math]
      , non sarà neppure derivabile in
      [math]x_0[/math]
      .

    Per ulteriori approfondimenti sulla continuità di una funziona clicca qui

    Teorema sulla crescenza e decrescenza

    • Si consideri una funzione
      [math]y = f(x)[/math]
      , la funzione è crescente in un punto
      [math]x_0[/math]
      (appartenente al dominio) se è possibile determinare un intorno del punto, tale per cui per ogni
      [math]x[/math]
      appartenente all'intorno, si abbia
      [math]f(x) per
      [math]x, mentre per se
      [math]f(x)>x_0[/math]
      per
      [math]x la funzione viene definita "non decrescente".
    • Si può individuare la crescenza anche attraverso il segno della derivata. Sia una funzione
      [math]y = f(x)[/math]
      continua nell'intervallo
      [math][a,b][/math]
      e derivabile in
      [math](a,b)[/math]
      . La funzione è crescente in [a,b] se la derivata prima di
      [math]f'(x)[/math]
      è maggiore uguale a zero:
      [math]f′(x)≥0[/math]
      per ogni
      [math]x\in(a,b)[/math]
      .
    • Si consideri una funzione
      [math]y = f(x)[/math]
      , la funzione è decrescente in un punto
      [math]x_0[/math]
      (appartenente al dominio) se è possibile determinare un intorno completo del punto, tale per cui per ogni
      [math]x[/math]
      appartenente all'intorno, si abbia
      [math]f(x)>x_0[/math]
      per
      [math]x>x_0[/math]
      , mentre per se
      [math]f(x)>x_0[/math]
      per
      [math]x la funzione viene definita "non crescente".
    • Si può individuare la crescenza anche attraverso il segno della derivata. Sia una funzione
      [math]y = f(x)[/math]
      continua nell'intervallo
      [math][a,b][/math]
      e derivabile in
      [math](a,b)[/math]
      . La funzione è crescente in [a,b] se la derivata prima di
      [math]f'(x)[/math]
      è maggiore uguale a zero:
      [math]f′(x)≤0[/math]
      per ogni
      [math]x\in(a,b)[/math]
      .
    • Infine, se nel dato intervallo la funzione è sempre crescente o decrescente si chiama “monotona”.
    • Nei punti dove la derivata vale zero
      [math]f′(x)=0[/math]
      , la
      [math]y = f(x)[/math]
      può essere crescente o decrescente, oppure no.

      • Teorema di Weierstrass

      Si consideri una funzione
      [math]y = f(x)[/math]
      , la funzione se definita in un insieme compatto (ovvero un insieme che risulta essere chiuso e limitato) questa ammetterà un punto di massimo e un punto di minimo assoluti all'interno dello stesso insieme. In termini matematici, ciò significa che considerando due punti
      [math]x_1[/math]
      e
      [math]x_2[/math]
      tali per cui risulti che:

      [math]f(x_1)=M≥f(x)\forall x \in \mathbb{R}[/math]

      [math]f(x_2)=m≤f(x)\forall x \in \mathbb{R}[/math]

      dove

      [math]m[/math]
      e
      [math]M[/math]
      sono dei valori finiti.

      Teorema di Rolle

      Si consideri una funzione
      [math]y = f(x)[/math]
      , definita nell'intervallo chiuso
      [math][a,b][/math]
      . Considerato che la funzione sia continua nell'intervallo
      [math][a,b][/math]
      e derivabile nell'intervallo
      [math](a,b)[/math]
      , se la funzione calcolata ai suoi due estremi di definizione assume lo stesso valore, allora esiste almeno un punto appartenente al dominio tale per cui la derivata in quel punto assuma valore nullo. In altre parole esiste almeno un punto critico, che sia un punto di massimo o di minimo. In termini matematici:

      [math]f(a)=f(b)\Rightarrow \exists x_0 \in [a,b] : f'(x_0)=0[/math]

      Teorema di Fermat

      Si consideri una funzione
      [math]y = f(x)[/math]
      , la funzione sia definita all'interno del suo dominio. Considerando un punto
      [math]x_0[/math]
      che appartenga al dominio di definizione della funzione, allora questo è un punto estremante per la funzione
      [math]f(x)[/math]
      , e la funzione sarà derivabile in quel punto. Ciò significa che:

      [math]f'(x_0)=0[/math]

      Tabelle delle derivate fondamentali

      Di seguito sono presentate le derivate fondamentali:

      • [math]f(x)=costante \Rightarrow \frac{d(f(x))}{dx}=0[/math]
      • [math]f(x)=x \Rightarrow \frac{d(f(x))}{dx}=1[/math]
      • [math]f(x)=x^n\Rightarrow \frac{d(f(x))}{dx}=nx^{n-1}[/math]
      • [math]f(x)=a^x\Rightarrow \frac{d(f(x))}{dx}=a^xln(a)[/math]
      • [math]f(x)=e^x\Rightarrow \frac{d(f(x))}{dx}=e^xln(e)=e^x[/math]
      • [math]f(x)=\log_a(x)\Rightarrow \frac{d(f(x))}{dx}=\frac{1}{xln(a)}[/math]
      • [math]f(x)=ln(x)\Rightarrow \frac{d(f(x))}{dx}=\frac{1}{xln(e)}=\frac{1}{x}[/math]
      • [math]f(x)=|x|\Rightarrow \frac{d(f(x))}{dx}=\frac{|x|}{x}[/math]
      • [math]f(x)=sin(x)\Rightarrow \frac{d(f(x))}{dx}=cos(x)[/math]
      • [math]f(x)=cos(x)\Rightarrow \frac{d(f(x))}{dx}=-sin(x)[/math]
      • [math]f(x)=tan(x)\Rightarrow \frac{d(f(x))}{dx}=\frac{1}{cos^2(x)}[/math]
      • [math]f(x)=arccos(x)\Rightarrow \frac{d(f(x))}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/math]
      • [math]f(x)=arcsin(x)\Rightarrow \frac{d(f(x))}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/math]
      • [math]f(x)=cosh(x)=\frac{e^x-x^{-x}}{2}\Rightarrow \frac{d(f(x))}{dx}=sinh(x)[/math]
      • [math]f(x)=sinh(x)=\frac{e^x+x^{-x}}{2}\Rightarrow \frac{d(f(x))}{dx}=cosh(x)[/math]