Definizione
Una matrice
[math]A \in \mathbb{R}^{n imes n}[/math]
si dice diagonalizzabile (su
[math]\mathbb{C}[/math]
) se e solo se esiste una matrice
[math]T \in \mathbb{C}^{n imes n}[/math]
invertibile tale che
[math]\Lambda = T^{-1} A T[/math]
dove
[math]\Lambda[/math]
è una matrice in forma diagonale.
Calcolo di
[math]\Lambda[/math]
e [math]T[/math]
1) se la matrice
[math]A[/math]
è diagonalizzabile, allora gli elementi sulla diagonale di
[math]\Lambda[/math]
sono gli autovalori di
[math]A[/math]
, ripetuti con la loro molteplicità algebrica
2) per stabilire se una matrice
[math]A[/math]
è diagonalizzabile
- si calcolano gli autovalori
[math]\lambda_1 , \lambda_2 , \ldots, \lambda_m \in \mathbb{C}[/math]
di
[math]A[/math]
- per ciascun autovalore si calcola la molteplicità algebrica
[math]\mu_i[/math]
- per ciascun autovalore si calcola la molteplicità geometrica
[math]\nu_i[/math]
- se
[math]\mu_i = \nu_i[/math]
per ogni autovalore allora la matrice
[math]A[/math]
è diagonalizzabile
3) per determinare la matrice di cambio di coordinate
[math]T[/math]
si devono distinguere due casi
1° caso: tutti gli autovalori di
[math]A[/math]
sono reali
2° caso: esiste almeno un autovalore di
[math]A[/math]
complesso
1° caso: autovalori tutti reali
Supponiamo che
[math]A \in \mathbb{R}^{n imes n}[/math]
sia diagonalizzabile, e siano
[math]\lambda_1 , \lambda_2 , \ldots , \lambda_m \in \mathbb{R}[/math]
i suoi autovalori, con molteplicità algebrica pari a, rispettivamente,
[math]\mu_1, \mu_2, \ldots, \mu_m[/math]
.
Sia
[math]V_i[/math]
l'autospazio relativo all'autovalore
[math]\lambda_i[/math]
, allora
[math]dim(V_i) = \nu_i = \mu_i[/math]
, dato che
[math]A[/math]
è diagonalizzabile, e una base di
[math]V_i[/math]
è data da
[math]\mu_i[/math]
autovettori linearmente indipendenti relativi a
[math]\lambda_i[/math]
, cioè
[math]{ v_{i1}, v_{i2}, \ldots, v_{i \mu_i}}[/math]
(i vettori sono intesi come colonne)
Ripetendo lo stesso ragionamento per tutti gli autovalori si trovano le basi di tutti gli autospazi (ognuno relativo ad un autovalore). Quindi se
[math]{v_{11}, v_{12}, \ldots, v_{1 \mu_1}} = \text{base dell'au ospazio relativo a } \lambda_1[/math]
[math]{v_{21}, v_{22}, \ldots, v_{2 \mu_2}} = \text{base dell'au ospazio relativo a } \lambda_2[/math]
[math]vdots[/math]
[math]{v_{m1}, v_{m2}, \ldots, v_{m \mu_m}} = \text{base dell'au ospazio relativo a } \lambda_m[/math]
allora la matrice del cambio di coordinate è data da
[math]T = [ v_{11} \quad v_{12} \quad \ldots \quad v_{1 \mu_1} \quad | \quad v_{21} \quad v_{22} \quad \ldots \quad v_{2 \mu_2} \quad | \quad \ldots \quad | \quad v_{m 1} \quad v_{m 2} \quad \ldots \quad v_{m \mu_m} ][/math]
La matrice
[math]\Lambda[/math]
, data da
[math]\Lambda = T^{-1} A T[/math]
, è invece pari a
[math]T = \text{diag}(\lambda_1 , \lambda_1 , \ldots, \lambda_1 , \lambda_2 , \lambda_2 , \ldots , \lambda_2 , \ldots , \lambda_m , \lambda_m , \ldots, \lambda_m)[/math]
ossia è la matrice diagonale che ha sulla diagonale principale gli autovalori di
[math]A[/math]
, ognuno ripetuto un numero pari di volte alla sua molteplicità algebrica.
2° caso: matrice con autovalori complessi
Sia
[math]A \in \mathbb{R}^{n imes n}[/math]
la matrice diagonalizzabile considerata, e sia
[math]\lambda \in \mathbb{C}[/math]
, un suo autovalore complesso, quindi della forma
[math]\lambda = \sigma + i \omega[/math]
, con
[math]\omega > 0[/math]
. Dato che
[math]A[/math]
è a coefficienti reali, allora anche
[math]\bar{\lambda} = \sigma - i \omega[/math]
è un autovalore.
Se
[math]\lambda[/math]
è un autovalore complesso, allora gli autovettori ad esso relativo sono complessi, e si possono scrivere come
[math]v = v^{(1)} + i v^{(2)}[/math]
, con
[math]v^{(1)}, v^{(2)} \in \mathbb{R}^n[/math]
Si dimostra che
[math]v^{(2)}[/math]
è diverso dal vettore nullo, e che
[math]v^{(1)}[/math]
e
[math]v^{(2)}[/math]
sono linearmente indipendenti. Se
[math]v[/math]
è un autovettore relativo a
[math]\lambda = \sigma + i \omega[/math]
, allora
[math]\bar{v} = v^{(1)} - i v^{(2)}[/math]
è un autovettore relativo a
[math]\bar{\lambda} = \sigma - i \omega[/math]
.
Indichiamo con
[math]\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{r} \in \mathbb{R}[/math]
gli autovalori reali di
[math]A[/math]
, e indichiamo con
[math]\lambda_{r+1}, \lambda_{r+2}, \ldots, \lambda_{c} \in \mathbb{C}[/math]
gli autovalori complessi di
[math]A[/math]
con parte reale positiva.
Nota:
[math]\lambda_{r+1}, \lambda_{r+2}, \ldots, \lambda_{c}[/math]
non sono tutti gli autovalori complessi di
[math]A[/math]
, dato che anche i rispettivi complessi coniugati lo sono
Nota: gli autovalori complessi
[math]\lambda_i[/math]
si possono scrivere come
[math]\lambda_i = \sigma_i + i \omega_i[/math]
, con
[math]\omega_i > 0[/math]
e
[math]r+1 \le i \le c[/math]
Ipotesi semplificativa: supponiamo che ogni autovalore complesso abbia molteplicità algebrica e geometrica pari a
[math]1[/math]
. In tal caso la base dell'autospazio relativo ad un autovalore complesso
[math]\lambda_i[/math]
sarà data da un vettore
[math]v_i \ne 0[/math]
, e inoltre
[math]v_i = v_i^{(1)} + i v_i^{(2)}[/math]
, con
[math]v_i^{(1)}, v_i^{(2)} \in \mathbb{R}^n[/math]
Ripetendo questo ragionamento per tutti gli autovalori complessi, e calcolando le basi per gli autospazi relativi ad autovalori reali, come nel caso precedente, si trova questa matrice di cambio di coordinate
[math]T = [v_1 \quad v_2 \quad \ldots \quad v_r \quad | \quad v_{r+1}^{(1)} \quad v_{r+1}^{(2)} \quad | \quad \ldots \quad | \quad v_{c}^{(1)} \quad v_c^{(2)}][/math]
In questo modo il prodotto
[math]T^{-1} A T[/math]
coincide con la matrice
[math][(\lambda_1, \quad 0, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad 0),(0, \quad \lambda_2, \quad 0, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad 0),(vdots, \quad 0, \quad ddots, \quad 0, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad vdots),(vdots, \quad vdots, \quad 0, \quad \lambda_{r}, \quad 0, \quad 0, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad vdots),(vdots, \quad vdots, \quad vdots, \quad 0, \quad \sigma_{r+1}, \quad \omega_{r+1}, \quad 0, \quad \ldots, \quad vdots),(vdots, \quad vdots, \quad vdots, \quad 0, \quad -\omega_{r+1}, \quad \sigma_{r+1}, \quad 0, \quad \ldots, \quad vdots),(vdots, \quad vdots, \quad vdots, \quad vdots, \quad 0, \quad ddots, \quad ddots, \quad 0, \quad 0),(vdots, \quad vdots, \quad vdots, \quad vdots, \quad vdots, \quad ddots, \quad 0, \quad \sigma_c, \quad \omega_c),(0, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad 0, \quad -\omega_c, \quad \sigma_c)][/math]
Questa è la forma diagonale reale a blocchi della matrice
[math]A[/math]
. I primi
[math]r[/math]
elementi sulla diagonale principale sono gli autovalori reali di
[math]A[/math]
, nelle altre parti della diagonale principale ci sono invece dei blocchi
[math]2 imes 2[/math]
, ognuno relativo ad un autovalore complesso (con parte immaginaria positiva). Infatti, all'autovalore
[math]\lambda_i = \sigma_i + i \omega_i[/math]
,
[math]\omega_i > 0[/math]
, corrisponde il blocco
[math][(\sigma_{i}, \omega_{i}),(-\omega_{i}, \sigma_i)][/math]
Nota: la forma diagonale della matrice
[math]A[/math]
è data da
[math]\Lambda = \text{diag}(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{r}, \lambda_{r+1}, \bar{\lambda_{r+2}} \ldots, \lambda_{c}, \bar{\lambda_c})[/math]
