Disequazioni di secondo grado

Una disequazione di secondo grado si può sempre scrivere, senza perdita di generalità, in uno dei seguenti due modi
 
$a x^2 + bx + c \ge 0$  $a x^2 + bx + c > 0$ 

 

con $a, b, c \in \mathbb{R}$ e $a \ne 0$, altrimenti il grado della disequazione sarebbe inferiore al secondo. Se una disequazione di secondo grado si presenta con il verso di disuguaglianza $<$ o $\le$, per ricondursi ad una delle due forme precedenti è sufficiente moltiplicare ambo i membri per $-1$.
 

Caso $a x^2 + bx + c \ge 0$

Sia $\Delta = b^2 – 4 ac$ il discriminante del polinomio $a x^2 + bx + c$, e siano $x_1$ e $x_2$ le soluzioni (eventualmente complesse) dell’equazione associata $a x^2 + bx + c = 0$. Per determinare la soluzione della disequazione $ax^2 + bx + c \ge 0$ si distinguono i seguenti casi

– se $\Delta < 0$ e $a > 0$ la disequazione è soddisfatta per ogni $x \in \mathbb{R}$

– se $\Delta < 0$ e $a < 0$ non esiste $x \in \mathbb{R}$ per cui la disequazione sia soddisfatta

– se $\Delta = 0$ e $a > 0$ la disequazione è soddisfatta per ogni $x \in \mathbb{R}$

– se $\Delta = 0$ e $a < 0$ la disequazione è soddisfatta per il solo valore $x = x_1$ (notare che in questo caso risulta $x_1 = x_2$)

– se $\Delta > 0$ e $a > 0$, supponendo senza perdita di generalità $x_1 < x_2$, la disequazione è soddisfatta per $x \le x_1 \quad \vee \quad x \ge x_2$

– se $\Delta > 0$ e $a < 0$, supponendo senza perdita di generalità $x_1 < x_2$, la disequazione è soddisfatta per $x_1 \le x \le x_2$

Esempio: risolvere $x^2 – 3x + 2 \ge 0$. Risulta $\Delta > 0$, e le soluzioni dell’equazione associata sono $x_1 = 1$ e $x_2 = 2$. Dato che $a = 1 > 0$ la disequazione è soddisfatta per $x \le 1 \quad \vee x \ge 2$.

Caso $a x^2 + bx + c > 0$

Sia $\Delta = b^2 – 4 ac$ il discriminante del polinomio $a x^2 + bx + c$, e siano $x_1$ e $x_2$ le soluzioni (eventualmente complesse) dell’equazione associata $a x^2 + bx + c = 0$. Per determinare la soluzione della disequazione $ax^2 + bx + c > 0$ si distinguono i seguenti casi

– se $\Delta < 0$ e $a > 0$ la disequazione è soddisfatta per ogni $x \in \mathbb{R}$

– se $\Delta < 0$ e $a < 0$ non esiste $x \in \mathbb{R}$ per cui la disequazione sia soddisfatta

– se $\Delta = 0$ e $a > 0$ la disequazione è soddisfatta per $x \ne x_1$ (notare che in questo caso risulta $x_1 = x_2$)

– se $\Delta = 0$ e $a < 0$ non esiste $x \in \mathbb{R}$ per cui la disequazione sia soddisfatta

– se $\Delta > 0$ e $a > 0$, supponendo senza perdita di generalità $x_1 < x_2$, la disequazione è soddisfatta per $x < x_1 \quad \vee \quad x > x_2$

– se $\Delta > 0$ e $a < 0$, supponendo senza perdita di generalità $x_1 < x_2$, la disequazione è soddisfatta per $x_1 < x < x_2$

Esempio: risolvere $-x^2 + 5x – 6 > 0$. Risulta $\Delta > 0$, e le soluzioni dell’equazione associata sono $x_1 = 2$ e $x_2 = 3$. Dato che $a = -1 < 0$ la disequazione è soddisfatta per $2 < x < 3$.

 

Commenti

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Ci sono 3 commenti su questo articolo:

  1. [quote name=”Gianluca”]secondo me il risultato dell’esercizio finale è sbagliato perchè se il segno e > nel risultato finale abbiamo valori esterni e non interni quindi x non è compresa tra 2 e 3 ma è minore di 2 e maggiore di 3[/quote]

    è esatto perché quando sono discordi (il segno di a ed il segno della disequazione), i valori di x sono interni!!

  2. secondo me il risultato dell’esercizio finale è sbagliato perchè se il segno e > nel risultato finale abbiamo valori esterni e non interni quindi x non è compresa tra 2 e 3 ma è minore di 2 e maggiore di 3