Disequazioni esponenziali

Dati $a \in \mathbb{R}^{+} \setminus \{1\}$ e $b \in \mathbb{R}$, una disequazione esponenziale in forma elementare si può esprimere in uno dei quattro modi seguenti

$a^x \ge b$  $a^x > b$  $a^x \le b$  $a^x < b$ 

Caso $a^x \ge b$

Per la risoluzione di una disequazione in questa forma si distinguono i seguenti casi:

– se $b \le 0$ la disequazione è verificata per ogni $x \in \mathbb{R}$

– se $b > 0$ e $0 < a < 1$ la disequazione è verificata per $x \le \log_{a}(b)$

– se $b > 0$ e $a > 1$ la disequazione è verificata per $x \ge \log_{a}(b)$

Esempio: la disequazione $(\frac{1}{2})^x \ge 5$ è verificata per $x \le \log_{\frac{1}{2}}(5)$

Caso $a^x > b$

Per la risoluzione di una disequazione in questa forma si distinguono i seguenti casi:

– se $b \le 0$ la disequazione è verificata per ogni $x \in \mathbb{R}$

– se $b > 0$ e $0 < a < 1$ la disequazione è verificata per $x < \log_{a}(b)$

– se $b > 0$ e $a > 1$ la disequazione è verificata per $x >\log_{a}(b)$

Esempio: la disequazione $3^x > 9$ è verificata per $x > \log_{3}(9)$, cioè per $x > 2$, dal momento che $\log_{3}(9) = 2$.

Caso $a^x \le b$

Per la risoluzione di una disequazione in questa forma si distinguono i seguenti casi:

– se $b \le 0$ non esiste $x \in \mathbb{R}$ per cui la disequazione sia verificata

– se $b > 0$ e $0 < a < 1$ la disequazione è verificata per $x \ge \log_{a}(b)$

– se $b > 0$ e $a > 1$ la disequazione è verificata per $x \le \log_{a}(b)$

Esempio: la disequazione $(\frac{1}{3})^x \le 7$ è verificata per $x \ge \log_{\frac{1}{3}}(7)$

Caso $a^x < b$

Per la risoluzione di una disequazione in questa forma si distinguono i seguenti casi:

– se $b \le 0$ non esiste $x \in \mathbb{R}$ per cui la disequazione sa verificata

– se $b > 0$ e $0 < a < 1$ la disequazione è verificata per $x > \log_{a}(b)$

– se $b > 0$ e $a > 1$ la disequazione è verificata per $x < \log_{a}(b)$

Esempio: la disequazione $6^x < 3$ è verificata per $x < \log_{6}(3)$

Riconduzione a disequazioni esponenziali in forma normale

Nei seguenti esempi vengono illustrati alcuni casi particolari di disequazioni esponenziali che possono essere riportati, mediante alcuni passaggi algebrici, alla forma elementare.

1) Risolvere $(\frac{1}{2})^{x+9} > 4$. Posto $t = x+9$ ci si riconduce ad una disequazione esponenziale in forma elementare, del tipo $(\frac{1}{2})^t > 4$. Pertanto la soluzione è

$t < \log_{\frac{1}{2}}(4) \implies t < -2 \implies x+9 < -2 \implies x < -11$

2) Risolvere $(\frac{1}{3})^{2x} \ge 3$. Ponendo $t = 2x$ ci si riconduce ad una disequazione in forma elementare del tipo $(\frac{1}{3})^t \ge 3$, la cui soluzione è

$t \le \log_{\frac{1}{3}}(3) \implies t \le 1 \implies 2x \le 1 \implies x \le \frac{1}{2}$

3) Risolvere $3^{2x} – 5 \cdot 3^x + 6 \ge 0$. Posto $t = 3^x$, e osservando che $t^2 = 3^{2x}$, la disequazione precedente diventa

$t^2 – 5t + 6 \ge 0$

la cui soluzione è $t \le 2 \quad \vee \quad t \ge 3$. Ricordando la sostituzione $t = 3^x$, si deduce che la soluzione della disequazione esponenziale è $3^x \le 2 \quad \vee \quad 3^x \ge 3$, ossia

$x \le \log_{3}(2) \quad \vee \quad x \ge 1$

Commenti

commenti

C'è un commento su questo articolo:

  1. nell’esempio 2, precisamente nel punto $tn 1? grazie, per il resto tutto chiaro =)