Disequazioni fratte

Una disequazione fratta si può sempre scrivere, senza perdita di generalità, in uno dei seguenti due modi
 
$\frac{N(x)}{D(x)} \ge 0$  $\frac{N(x)}{D(x)}>0$ 
 
Se la disequazione si presenta con il verso di disuguaglianza $<$ o $\le$, è sufficiente moltiplicare ambo i membri per $-1$ per ricondursi ad una delle precedenti forme.
 

Caso $\frac{N(x)}{D(x)} \ge 0$

Per risolvere una disequazione fratta nella forma $\frac{N(x)}{D(x)} \ge 0$, occorre per prima cosa risolvere separatamente le disequazioni $N(x) \ge 0$ e $D(x) > 0$. La disequazione fratta risulta soddisfatta per le $x$ tali che $N(x) \ge 0$ e contemporaneamente $D(x) > 0$, oppure $N(x) \le 0$ e contemporaneamente $D(x) < 0$.

Esempio: risolvere $\frac{x-2}{2x+3} \ge 1$. Portando il termine $1$ al primo membro e facendo il denominatore comune, si ottiene

$\frac{x-2}{2x+3} – 1 \ge 0 \implies \frac{x-2-2x-3}{2x+3} \ge 0 \implies \frac{-x-5}{2x+3} \ge 0$

$N(x) \ge 0 \implies -x-5 \ge 0 \implies x \le -5$

$D(x) > 0 \implies 2x+3 > 0 \implies x > -\frac{3}{2}$

Quindi la disequazione è soddisfatta per $-5 \le x < -\frac{3}{2}$, dato che in tale intervallo numeratore e denominatore sono entrambi negativi. Non esistono invece intervalli in cui numeratore e denominatore siano entrambi positivi.

Caso $\frac{N(x)}{D(x)} > 0$

Per risolvere una disequazione fratta nella forma $\frac{N(x)}{D(x)} > 0$, occorre per prima cosa risolvere separatamente le disequazioni $N(x) > 0$ e $D(x) > 0$. La disequazione fratta risulta soddisfatta per le $x$ tali che $N(x) > 0$ e contemporaneamente $D(x) > 0$, oppure $N(x) < 0$ e contemporaneamente $D(x) < 0$.

Esempio: risolvere $\frac{2x-1}{x+2} > 0$. Per prima cosa si studia il segno del numeratore e del denominatore.

$N(x) \ge 0 \implies 2x-1 > 0 \implies x > \frac{1}{2}$

$D(x) > 0 \implies x+2 > 0 \implies x > -2$

Quindi la disequazione è soddisfatta per $x<-2 \quad \vee \quad x > \frac{1}{2}$. Infatti nell’intervallo $(-\infty, -2)$ numeratore e denominatore sono entrambi negativi, invece nell’intervallo $(\frac{1}{2}, +\infty)$ numeratore e denominatore sono entrambi positivi.

 

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  1. utile ed esauriente grazie alla sua semplicità nell’esposizione. grazie