Disequazioni irrazionali

Dato $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$, una disequazione irrazionale è una disuguaglianza in cui l’incognita compare sotto il segno di radice, pertanto ogni disequazione irrazionale si può scrivere in una di queste quattro forme
 
$\root{n}{f(x)} \ge g(x)$  $\root{n}{f(x)} > g(x)$  $\root{n}{f(x)} \le g(x)$  $\root{n}{f(x)} < g(x)$ 

 

Se $n$ è dispari, per risolvere la disequazione è sufficiente elevare ambo i membri alla potenza $n$-esima, e risolvere la nuova disequazione così ottenuta.

Esempio: risolvere la disequazione $\root{5}{6x+5} \le 10 – x$ è equivalente a risolvere la disequazione $6x + 5 \le (10 – x)^5$, e quella ottenuta non è più irrazionale, bensì polinomiale.

Nel seguito consideriamo i casi con $n$ pari.

Casi $\root{n}{f(x)} \ge g(x)$ e $\root{n}{f(x)} > g(x)$

Il procedimento risolutivo di una disequazione irrazionale del tipo $\root{n}{f(x)} \ge g(x)$, consiste nella risoluzione dei seguenti sistemi

$\{(f(x) \ge 0),(g(x) < 0):} \quad \vee \quad \{(g(x) \ge 0),(f(x) \ge g^n(x)):}$

Esempio: risolvere $\sqrt{2x+3} \ge x+1$

$\{(2x+3 \ge 0),(x+1<0):} \quad \vee \quad \{(x+1 \ge 0),(2x+3 \ge x^2 + 2x + 1):}$

È immediato verificare che il primo sistema è risolto per $-\frac{3}{2} \le x < -1$, mentre il secondo è risolto per $-1 \le x \le \sqrt{2}$, pertanto la soluzione della disequazione irrazionale è $-\frac{3}{2} \le x \le \sqrt{2}$.

Il procedimento risolutivo per disequazioni nella forma $\root{n}{f(x)} > g(x)$ è del tutto analogo al precedente, a parte il segno di disuguaglianza presente nella seconda equazione del secondo sistema:

$\{(f(x) \ge 0),(g(x) < 0):} \quad \vee \quad \{(g(x) > 0),(f(x) > g^n(x)):}$

Casi $\root{n}{f(x)} \le g(x)$ e $\root{n}{f(x)} < g(x)$

La risoluzione di una disequazione irrazionale del tipo $\root{n}{f(x)} \le g(x)$ equivale alla risoluzione del seguente sistema:

$\{(f(x) \ge 0),(g(x) \ge 0),(f(x) \le g^n(x)):}$

Esempio: risolvere la disequazione $\sqrt{3x+6} \le x-3$, è equivalente a risolvere questo sistema

$\{(3x+6 \ge 0),(x – 3 \ge 0),(3x+6 \le x^2 – 6x + 9):} = \{(x \ge -2),(x \ge 3),(x^2 – 9x +3 \ge 0):}$

Dalle prime due condizioni si nota che deve risultare $x \ge 3$. La terza disequazione è verificata per $x \le \frac{9 – \sqrt{69}}{2} \quad \vee \quad x \ge \frac{9 + \sqrt{69}}{2}$, quindi la disequazione irrazionale iniziale è soddisfatta per $x \ge \frac{9 + \sqrt{69}}{2}$.

Il procedimento risolutivo per disequazioni del tipo $\root{n}{f(x)} < g(x)$ è analogo al precedente, con alcune piccole modifiche alle condizioni del sistema da studiare:

$\{(f(x) \ge 0),(g(x) > 0),(f(x) < g^n(x)):}$

 

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