[math] x .
[math]-\frac{3}{2} \le x .
Risolviamo ora il secondo sistema: la prima riga ha soluzione
[math] x \ge -1 [/math]
, mentre la seconda riga è una disequazione di secondo grado
[math] x^2-2 \le 0 [/math]
, le cui soluzioni dell'
equazione associata sono
[math] \pm \sqrt{2}[/math]
, da ciò ricaviamo che la seconda riga ha soluzione
[math] -\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2} [/math]
. L'intervallo comune ad entrambe le righe è
[math] [-1; \sqrt{2}] [/math]
quindi il secondo sistema è risolto per
[math]-1 \le x \le \sqrt{2}[/math]
, pertanto la soluzione della disequazione irrazionale è quello che si ottiene unendo gli intervalli:
[math]-\frac{3}{2} \le x \le \sqrt{2}[/math]
.
Il procedimento risolutivo per disequazioni nella forma
[math]
\sqrt[n]{f(x)} > g(x)[/math]
è del tutto analogo al precedente, a parte il segno di disuguaglianza presente nella seconda equazione del secondo sistema:
[math]\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) 0 \\ f(x) > g^n(x) \end{cases}[/math]
Consideriamo ora gli altri due casi rimanenti:
[math]\sqrt[n]{f(x)} \le g(x)[/math]
e
[math]
\sqrt[n]{f(x)}
La risoluzione di una disequazione irrazionale del tipo
[math]
\sqrt[n]{f(x)} \le g(x)[/math]
equivale alla risoluzione del seguente sistema:
[math]\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \\ f(x) \le g^n(x) \end{cases}[/math]
Esempio: Risolvere la disequazione
[math]\sqrt{3x+6} \le x-3[/math]
, è equivalente a risolvere questo sistema:
[math]\begin{cases} 3x+6 \ge 0 \\ x - 3 \ge 0 \\ 3x+6 \le x^2 - 6x + 9 \end{cases}[/math]
.
Utilizzando i semplici metodi di risoluzione delle disequazioni di primo grado, troviamo che la prima e la seconda riga corrispondono a
[math]x \ge -2[/math]
e
[math]x \ge 3[/math]
rispettivamente. La terza riga è una disequazione di secondo grado:
[math] x^2-9x+3 \ge 0 [/math]
, la cui equazione associata ha soluzione
[math]x=\frac{ 9 \pm \sqrt{69}}{2}[/math]
, di conseguenza la soluzione della disequazione sarà
[math]x \le \frac{ 9 - \sqrt{69}}{2} \vee x \le \frac{ 9 + \sqrt{69}}{2}[/math]
. Il sistema può quindi essere riscritto così:
[math] \begin{cases} x \ge -2 \\ x \ge 3 \\ x \le \frac{ 9 - \sqrt{69}}{2} \vee x \le \frac{ 9 + \sqrt{69}}{2} \end{cases} [/math]
Le prime due condizioni possono essere "fuse" in
[math]x \ge 3[/math]
. Il sistema diventa quindi:
[math] \begin{cases} x \ge 3 \\ x \le \frac{ 9 - \sqrt{69}}{2} \vee x \le \frac{ 9 + \sqrt{69}}{2} \end{cases} [/math]
Dal momento che
[math]\frac{9+\sqrt{69}}{2} > 3 [/math]
si ha che quindi la disequazione irrazionale iniziale è soddisfatta per
[math]x \ge \frac{9 + \sqrt{69}}{2}[/math]
.
Il procedimento risolutivo per disequazioni del tipo
[math]
\sqrt[n]{f(x)} è analogo al precedente, con alcune piccole modifiche alle condizioni del sistema da studiare: