Equazioni di primo, secondo, terzo e quarto grado

articoli09.jpgIl capitolo 13 del formulario completo di matematica: 1. Principi di equivalenza, 2. Equazioni di primo grado, 3. Equazioni di secondo grado, 4. Relazioni fra i coefficienti e le radici di un’equazione di 2° grado, 5. Regola dei segni o regola di Cartesio (equazioni di 2° grado), 6. Scomposizione di un trinomio di secondo grado, 7. Equazioni parametriche di 2° grado, 8. Equazioni riconducibili a equazioni di secondo grado, 9. Equazioni di terzo grado, 10. Equazioni di quarto grado.

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  1. mi sembra che nel caso in cui e è diverso da zero questo valore sia scomparso in modo indebito nella soluzione. Non va per caso aggiunto a C?

  2. FORMULE DI GALLO DELLE EQUAZIONI DIOFANTEE LINEARI (D2) aX+bY=c E (D3) aX+bY+cZ=d E RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI POLINOMIALI ( DIOFANTEE O ALGEBICHE ) DI GRADO n≥1

    Ecco come Onofrio Gallo (n. 13 maggio 1946 a Cervinara, in Valle Caudina) introduce (ART.102 EXCERPTA) il suo celebre Teorema Generale di Gallo sulla risolubilità delle equazioni polinomiali (diofantee o algebriche)

    “Se le formule di G.Cardano e le formule di L. Ferrari delle equazioni algebriche, rispettivamente, di terzo e di quarto grado, risalenti al Secolo XVI, sono le uniche formule ancor oggi note ( ma non utilizzate, in quanto attualmente vengono utilizzati metodi numerici per risolvere tali equazioni), nel corso dei millenni le equazioni algebriche di grado n finito (n>1) non erano state mai state risolte mediante formule risolutive senza radicali.
    Nel maggio del 1995 noi abbiamo scoperto, per la prima volta nella Storia delle Matematiche, non solo le formule diofantee di Gallo relative ad equazioni diofantee a due incognite, ma anche quelle relative alle analoghe a tre incognite.
    In seguito a tale scoperta abbiamo ideato vari metodi di risoluzione delle equazioni algebriche di grado n intero positivo che qui ci accingiamo ad esporre al nostro Lettore per la prima volta.
    Esiste infatti una strettissima connessione tra le equazioni algebriche di grado n intero positivo finito e le equazioni diofantee a due e a tre incognite. Tale connessione costituisce il ponte di collegamento tra il campo del discreto (equazioni diofantee) e il campo del continuo (equazioni algebriche) mai attraversato da nessuno nel corso dei millenni precedenti”.
    Sussiste infatti il seguente:
    Teorema Generale di Gallo sulla risolubilità delle equazioni polinomiali (diofantee o algebriche)
    “ Se (En) anxn+an-1xn-1+…..+a1x+a0=0 è un’equazione polinomiale algebrica di grado n naturale finito positivo e se alla (En) si associa l’equazione
    (E’n) A+a1x=-a0 , detta equazione associata o forma contratta o zippata di Gallo della (En), con A = anxn+an-1xn-1+…..+ a2x2, allora le soluzioni xi (i=1,2..,n) della (En) si ottengono mediante la formula generale di Gallo (FG.1):
    x= [(-a0-a1)-a1t]/(1-a1) ed A=[(1+a0)+t]/(1-a1) se a1≠1 (risp. x= [(1-a0)-t]/2 ed A= [(1+a0)+t]/2 se a1=1 ) con t parametro di Gallo (anche non intero) e le soluzioni xi ( se x1 per cui x1=2.
    Per t2= t1+ δ1 Δt =-27- 1*25=-52 e t’2=x23+x22-1=35 si ha
    X2=x23=6750/250=27 da cui x2=3√27=3
    Y2=x222=2250/250=9 da cui x2=3 (x’2=-3 non è accettabile)
    Z2=75/25=3 per cui x2=3

    Per t3= t2+ δ2 Δt=-52-1*25=-77 e t’3=x33+x32-1=79 si ha
    X3=x33=16000/250=64 da cui x3=3√64=4
    Y3=x322= 4000/250=16 da cui x3 = 4(x’3=-4 non è accettabile)
    Z3=x3=100/25=4 per cui x3=4
    Ne segue che le tre soluzioni della (E3) sono (x1,x2,x3)=(2,3,4).
    OSSERVAZIONE IMPORTANTE
    In modo più rapido è sufficiente considerare solo la terza componente della soluzione generale di Gallo , cioè Z=(1-d)/(1-c)=(23-t)/25, dove figura solo il parametro intero t, mediante il quale per t1=-27, t2=-52, t3=-75 si ottengono le soluzioni 2, 3, 4 della (E3).

    Per inciso notiamo che la soluzione razionale di Gallo della (E3), considerata come equazione diofantea del tipo (D3) aX+bY+cZ=d, è data dalla terna (xG,yG,zG)= (227/250, 23/250, 230/250), infatti risulta xG-9yG+26 zG=24.

    4 EQUAZIONE ALGEBICA GRADO n=4
    Risolviamo l’equazione algebrica di quarto grado (E4) x4-29×3+164×2-1039x+1170=0
    Allo scopo, procedendo come in N3/2, otteniamo(sempre nell’ipotesi x1