Un'equazione di quarto grado in forma normale si scrive come
[math]a x^4 + b x^3 + c x^2 + dx + e = 0[/math]
con
[math]a \ne 0[/math]
, altrimenti il grado dell'equazione sarebbe inferiore a [math]4[/math]
. 1° caso: se
[math]e = 0[/math]
si può raccogliere a fattor comune [math]x[/math]
, ottenendo [math]x (a x^3 + b x^2 + c x + d) = 0[/math]
, pertanto una soluzione è [math]x = 0[/math]
, le altre tre si trovano risolvendo l'equazione di terzo grado [math]a x^3 + b x^2 + cx + d = 0[/math]
. 2° caso: se
[math]e \ne 0[/math]
allora [math]x = 0[/math]
non è soluzione dell'equazione. Operando il cambio di variabile [math]x = y - \frac{b}{4a}[/math]
l'equazione diventa
[math]a (y - \frac{b}{4a})^4 + b (y - \frac{b}{4a})^3 + c (y - \frac{b}{4a})^2 + d (y - \frac{b}{4a}) + e = 0[/math]
Svolgendo i calcoli si riconduce l'equazione a questa forma
[math]y^4 + 2 (\frac{c}{2a} - \frac{3b^2}{16 a^2})y^2 - (\frac{bc}{2 a^2} - \frac{d}{a} - \frac{b^3}{8 a^3}) y - (\frac{3 b^4}{256 a^4} - \frac{b^2 c}{16 a^3} + \frac{db}{4 a^2} - \frac{c}{a})[/math]
Ponendo
[math]A = \frac{c}{2a} - \frac{3b^2}{16 a^2}[/math]
, [math]B = \frac{bc}{2 a^2} - \frac{d}{a} - \frac{b^3}{8 a^3}[/math]
, [math]C = \frac{3 b^4}{256 a^4} - \frac{b^2 c}{16 a^3} + \frac{db}{4 a^2} - \frac{c}{a}[/math]
, l'equazione si riscrive nella forma
[math]y^4 + 2 A y^2 = By + C[/math]
Aggiungendo
[math]A^2[/math]
ad ambo i membri si ottiene, alla sinistra dell'uguale, un quadrato perfetto
[math](y^2 + A)^2 = By + C + A^2[/math]
Aggiungendo ora
[math]w^2 + 2 A w + 2 w y^2[/math]
(con [math]w[/math]
per il momento ancora da determinare) si ottiene
[math](y^2 + A + w)^2 = 2 w y^2 + By + w^2 + 2 A w + A^2 + C[/math]
Scegliamo
[math]w[/math]
in modo che il membro di destra sia un quadrato perfetto, per far questo basta calcolarne il discriminante rispetto a [math]y[/math]
e porlo uguale a zero[math]
B^2 - 8 w (w^2 + 2 A w + A^2 + C) = 0
[/math]
[math]
D
Questa è un'equazio
e di terzo grado a coefficienti reali, per\\tan o ammette (almeno) una soluzio
e reale. Sia [/math]
[math] tale soluzio
e (reale), allora l'equazio
e di quar o grado diventa
(y^2 + A + D)^2 = 2 D (y + frac{B}{4D})^2{(y^2 + A + D = sqrt{2D} y + sqrt{2D} frac{B}{4D}),(y^2 + A + D = -sqrt{2D} y - sqrt{2D} frac{B}{4D}):}$ e (reale), allora l'equazio
e di quar o grado diventa
[/math]
Risolvendo tali equazioni si trovano quattro valori di
[math]y[/math]
, e ricordando che [math]x = y - \frac{b}{4a}[/math]
si determinano le quattro soluzioni dell'equazione di partenza.
