Equazioni di quarto grado

Un’equazione di quarto grado in forma normale si scrive come

$a x^4 + b x^3 + c x^2 + dx + e = 0$

 
con $a \ne 0$, altrimenti il grado dell’equazione sarebbe inferiore a $4$.

1° caso: se $e = 0$ si può raccogliere a fattor comune $x$, ottenendo $x (a x^3 + b x^2 + c x + d) = 0$, pertanto una soluzione è $x = 0$, le altre tre si trovano risolvendo l’equazione di terzo grado $a x^3 + b x^2 + cx + d = 0$.

2° caso: se $e \ne 0$ allora $x = 0$ non è soluzione dell’equazione. Operando il cambio di variabile $x = y – \frac{b}{4a}$ l’equazione diventa

$a (y – \frac{b}{4a})^4 + b (y – \frac{b}{4a})^3 + c (y – \frac{b}{4a})^2 + d (y – \frac{b}{4a}) + e = 0$

 
Svolgendo i calcoli si riconduce l’equazione a questa forma

$y^4 + 2 (\frac{c}{2a} – \frac{3b^2}{16 a^2})y^2 – (\frac{bc}{2 a^2} – \frac{d}{a} – \frac{b^3}{8 a^3}) y – (\frac{3 b^4}{256 a^4} – \frac{b^2 c}{16 a^3} + \frac{db}{4 a^2} – \frac{c}{a})$

 
Ponendo $A = \frac{c}{2a} – \frac{3b^2}{16 a^2}$, $B = \frac{bc}{2 a^2} – \frac{d}{a} – \frac{b^3}{8 a^3}$, $C = \frac{3 b^4}{256 a^4} – \frac{b^2 c}{16 a^3} + \frac{db}{4 a^2} – \frac{c}{a}$, l’equazione si riscrive nella forma

$y^4 + 2 A y^2 = By + C$
 
Aggiungendo $A^2$ ad ambo i membri si ottiene, alla sinistra dell’uguale, un quadrato perfetto
 
$(y^2 + A)^2 = By + C + A^2$
 
Aggiungendo ora $w^2 + 2 A w + 2 w y^2$ (con $w$ per il momento ancora da determinare) si ottiene
 
$(y^2 + A + w)^2 = 2 w y^2 + By + w^2 + 2 A w + A^2 + C$
 
Scegliamo $w$ in modo che il membro di destra sia un quadrato perfetto, per far questo basta calcolarne il discriminante rispetto a $y$ e porlo uguale a zero$
 
$B^2 – 8 w (w^2 + 2 A w + A^2 + C) = 0$
 
Questa è un’equazione di terzo grado a coefficienti reali, pertanto ammette (almeno) una soluzione reale. Sia $D$ tale soluzione (reale), allora l’equazione di quarto grado diventa
 
$(y^2 + A + D)^2 = 2 D (y + \frac{B}{4D})^2$
 
Estraendo la radice quadrata si trovano due equazioni secondo grado
 
$\{(y^2 + A + D = \sqrt{2D} y + \sqrt{2D} \frac{B}{4D}),(y^2 + A + D = -\sqrt{2D} y – \sqrt{2D} \frac{B}{4D}):}$
 
Risolvendo tali equazioni si trovano quattro valori di $y$, e ricordando che $x = y – \frac{b}{4a}$ si determinano le quattro soluzioni dell’equazione di partenza.
 

 

Commenti

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Ci sono 3 commenti su questo articolo:

  1. quando scrivi “Svolgendo i calcoli si riconduce l’equazione a questa forma” il termine noto e dove va a finire?????

  2. A me l’ultimo membro di C viene e/a e non c/a.In caso contrario il coefficiente ‘e’ scomparirebbe dall’equazione.

  3. credo che ci sia un errore.
    nella formula pubblicata l’ultimo membro di C è c/2…
    a me risulta essere e/2…
    vi chiedo per favore di farmi sapere se mi sto sbagliando…
    grazie,
    Marco