Equazioni di terzo grado

Un’equazione di terzo grado in forma normale si scrive come $c_1 x^3 + c_2 x^2 + c_3 x + c_4 = 0$. Affinché l’equazione sia effettivamente di terzo grado deve risultare $c_1 \ne 0$, dividendo quindi per tale termine si porta l’equazione nella forma
 
$x^3 + a x^2 + b x + c = 0$
 
1° caso: se $c = 0$, mettendo in evidenza $x$ l’equazione diventa $x (x^2 + ax + b) = 0$. Pertanto una soluzione è $x = 0$, le altre si trovano risolvendo l’equazione di secondo grado $x^2 + ax + b = 0$.
 
2° caso: se $c \ne 0$ (in tala caso $x=0$ non è soluzione), operando il cambiamento di variabile $y = x + \frac{a}{3}$, l’equazione diventa
 
$y^3 – a y^2 + \frac{a^2}{3} y – \frac{a^3}{27} + a y^2 + \frac{3 a^3}{27} – 2 \frac{a^2}{3} y + by – \frac{ab}{3} + c = 0$
 
Eseguendo le somme si arriva a
 
$y^3 + y(b – \frac{a^2}{3}) + \frac{2 a^3}{27} – \frac{ab}{3} + c = 0$
 
Posto $p = b – \frac{a^2}{3}$ e $q = \frac{2a^3}{27} – \frac{ab}{3} + c$, l’equazione diventa
 
$y^3 + p y + q = 0$
 
Operando il cambiamento di variabile $y = z – \frac{p}{3z}$, l’equazione si riscrive come
 
 $z^3 – p z + \frac{p^2}{3z} – \frac{p^3}{27 z^3} + p z – \frac{p^2}{3z} + q = 0$
 
Eseguendo le somme e moltiplicando ambo i membri per $z^3$ si arriva a
 
$z^6 + q z^3 – \frac{p^3}{27} = 0$
 
Ponendo $t = z^3$, si trova un’equazione di secondo grado
 
$t^2 + q t – \frac{p^3}{27} = 0$
 
le cui soluzioni sono
 
$t = -\frac{q}{2} \pm \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}$
 
e ricordando la sostituzione $t = z^3$
 
$z = \root{3}{-\frac{q}{2} \pm \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}$
 
Ricordando le altre sostituzioni effettuate si arriva alle soluzioni dell’equazione di terzo grado iniziale.
 
 
 

Commenti

commenti

Ci sono 2 commenti su questo articolo:

  1. X ele
    Invece conosci il valore di “a”. Il suo valore è “0” (zero).

  2. e se io non ho neanche a? come faccio a operare la sostituzione? per esempio per risolvere la disequazione (o l’equazione associata) 4x^3-4x+1>0? questa disequazione mi sta facendo impazzire!!
    grazie mille!:-)