Un'equazione di terzo grado in forma normale si scrive come
[math]c_1 x^3 + c_2 x^2 + c_3 x + c_4 = 0[/math]
. Affinché l'equazione sia effettivamente di terzo grado deve risultare [math]c_1 \ne 0[/math]
, dividendo quindi per tale termine si porta l'equazione nella forma
[math]x^3 + a x^2 + b x + c = 0[/math]
1° caso: se
[math]c = 0[/math]
, mettendo in evidenza [math]x[/math]
l'equazione diventa [math]x (x^2 + ax + b) = 0[/math]
. Pertanto una soluzione è [math]x = 0[/math]
, le altre si trovano risolvendo l'equazione di secondo grado [math]x^2 + ax + b = 0[/math]
.
2° caso: se
[math]c \ne 0[/math]
(in tala caso [math]x=0[/math]
non è soluzione), operando il cambiamento di variabile [math]y = x + \frac{a}{3}[/math]
, l'equazione diventa
[math]y^3 - a y^2 + \frac{a^2}{3} y - \frac{a^3}{27} + a y^2 + \frac{3 a^3}{27} - 2 \frac{a^2}{3} y + by - \frac{ab}{3} + c = 0[/math]
Eseguendo le somme si arriva a
[math]y^3 + y(b - \frac{a^2}{3}) + \frac{2 a^3}{27} - \frac{ab}{3} + c = 0[/math]
Posto
[math]p = b - \frac{a^2}{3}[/math]
e [math]q = \frac{2a^3}{27} - \frac{ab}{3} + c[/math]
, l'equazione diventa
[math]y^3 + p y + q = 0[/math]
Operando il cambiamento di variabile
[math]y = z - \frac{p}{3z}[/math]
, l'equazione si riscrive come
[math]z^3 - p z + \frac{p^2}{3z} - \frac{p^3}{27 z^3} + p z - \frac{p^2}{3z} + q = 0[/math]
Eseguendo le somme e moltiplicando ambo i membri per
[math]z^3[/math]
si arriva a
[math]z^6 + q z^3 - \frac{p^3}{27} = 0[/math]
Ponendo
[math]t = z^3[/math]
, si trova un'equazione di secondo grado
[math]t^2 + q t - \frac{p^3}{27} = 0[/math]
le cui soluzioni sono
[math]t = -\frac{q}{2} \\pm \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}[/math]
e ricordando la sostituzione
[math]t = z^3[/math]
[math]z =
oot{3}{-\frac{q}{2} \\pm \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}[/math]
oot{3}{-\frac{q}{2} \\pm \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}[/math]
Ricordando le altre sostituzioni effettuate si arriva alle soluzioni dell'equazione di terzo grado iniziale.
