Equazioni esponenziali e logaritmiche

Equazioni esponenziali 

Dato $a \in \mathbb{R}^+$, un’equazione esponenziale elementare si scrive come
 
$a^x = b$
 
1° caso: se $b \le 0$ l’equazione non ha soluzione
2° caso: se $b > 0$ e $a \ne 1$ l’equazione ha una ed una sola soluzione, che vale $x = \log_{a}(b)$
3° caso: se $b > 0$, $b \ne 1$ e $a = 1$ l’equazione non ha soluzione
4° caso: se $b = 1$ e $a = 1$ l’equazione è soddisfatta per ogni $x \in \mathbb{R}$
 
Nel caso particolare in cui l’equazione sia della forma $a^{f(x)} = a^g(x)$ ($a \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$), dato che le basi sono uguali basta risolvere l’equazione $f(x) = g(x)$.
 
Nel caso in cui l’equazione non sia in forma elementare è possibile usare dei metodi, esposti nei seguenti esempi, che consentono di ricordursi a tale forma.
 
Esempi:
 
1) $2^{x-3} = \frac{1}{4} \implies 2^x \cdot 2^{-3} = \frac{1}{4} \implies 2^x = \frac{1}{4} \cdot 2^3 \implies 2^x = 2 \implies x = 1$
 
2) $3^{3x + 5} = 3^{7x-10} \implies 3x + 5 = 7x – 10 \implies 4x = 15 \implies x = \frac{15}{4}$
 
3) $7 \cdot 3^x = 5 \cdot 2^x \implies \frac{3^x}{2^x} = \frac{5}{7} \implies (\frac{3}{2})^x = \frac{5}{7} \implies x = \log_{\frac{3}{2}}(\frac{5}{7})$
 
4) $25^x -3 \cdot 5^x + 2 = 0 \implies (5^2)^x – 3 \cdot 5^x + 2 = 0 \implies 5^{2x} – 3 \cdot 5^x + 2 = 0 \implies (5^x)^2 – 3 \cdot 5^x + 2 = 0$
Sostituzione $t = 5^x$, si ottiene un’equazione di secondo grado
$t^2 – 3 t + 2 = 0 \implies t_1 = 2 \quad t_2 = 1$, ricordando la sostituzione fatta
 
$5^x = 2 \implies x = \log_{5}(2)$
 
$5^x = 1 \implies 5^x = 5^0 \implies x = 0$
 

Equazioni logaritmiche

Dato $a \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$ e $b \in \mathbb{R}$, un’equazione logaritmica elementare è un’equazione della forma

$\log_{a}(x) = b$

 
ed ha una ed una sola soluzione che, per definizione di logaritmo, vale $x = a^b$. Se un’equazione logaritmica si presenta nella forma

$\log_{a}(f(x)) = \log_{a}(g(x))$

 
dove i logaritmi hanno la stessa base, per determinare la soluzione è sufficiente risolvere il sistema

$\{(f(x) > 0),(g(x) > 0),(f(x) = g(x)):}$

 
Nei casi in cui l’equazione non si presenti in una di queste forme, è possibile usare dei metodi illustrati negli esempi seguenti.

Esempi:

1) $\log_{5}(3x – 2) = 6 \implies 3x – 2 = 5^6 \implies 3x = 5^6 – 2 \implies x = \frac{5^6 – 2}{3}$

2) $\log_{4}(x-1) + \log_{4}(x-3) = 2$

Per l’esistenza dei logaritmi deve essere verificato il sistema

$\{(x-1>0),(x-3>0):}$

 
che ha come soluzione $x > 3$. Applicando le proprietà dei logaritmi l’equazione logaritmica si scrive come

$\log_{4}((x-1)(x-3)) = 2 \implies (x-1)(x-3) = 4^2 \implies x^2 -4x + 3 = 16 \implies x^2 – 4x – 13 = 0$

che ha come soluzioni $x_1 = 2 – \sqrt{17}$ e $x_2 = 2 + \sqrt{17}$. Ma solo $x_2$ risulta essere maggiore di $3$, quindi l’unica soluzione dell’equazione logaritmica è $x = 2 + \sqrt{17}$.

3) $(\log_{2}(x))^2 – \log_{2}(x) – 2 = 0$

Per l’esistenza dei logaritmi deve risultare $x>0$. Posto $t = \log_{2}(x)$, si ottiene l’equazione di secondo grado $t^2 – t -2 = 0$ che ha come soluzioni $t_1 = -1$ e $t_2 = 2$. Ricordando la sostituzione fatta si ottengono le due soluzioni (che non violano la condizione di esistenza del logaritmo, essendo entrambe positive)

$\log_{2}(x) = -1 \implies x = 2^{-1} \implies x_1 = \frac{1}{2}$
 
  $\log_{2}(x) = 2 \implies x = 2^2 \implies x_2 = 4$

 

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