Equazioni fratte e irrazionali

Equazioni fratte

La forma generale di un’equazione fratta è

$\frac{a(x)}{b(x)} = \frac{c(x)}{d(x)}$

 
L’insieme di definizione di tale equazione è $D = \{x \in \mathbb{R}: b(x) \ne 0, d(x) \ne 0\}$ (supponendo che $a(x), b(x), c(x), d(x)$ siano definiti su tutto $\mathbb{R}$, se così non fosse andrebbero aggiunti ulteriori vincoli, all’insieme $D$, che garantiscono la loro esistenza). Moltiplicando ambo i membri per $b(x) d(x)$ si ottiene

$a(x) d(x) = b(x) c(x)$

 
La soluzione dell’equazione fratta iniziale è data dall’insieme di tutte le $x$ appartenenti a $D$ tali che $a(x) d(x) = b(x) c(x)$.

Esempio: risolvere $\frac{x+1}{3x+6} = \frac{2}{x-1}$

$D = \{x \in \mathbb{R}: x \ne -2, x \ne 1\}$

Moltiplicando ambo i membri per $(3x+6)(x-1)$ si ottiene l’equazione

$x^2 – 1 = 6x + 12 \implies x^2 – 6x -13 = 0 \implies x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{9 + 13}$

Entrambe sono diverse da $-2$ e $1$, quindi le soluzioni dell’equazione fratta sono

$x_1 = 3 – \sqrt{22} \quad x_2 = 3 + \sqrt{22}$
 

 

Equazioni irrazionali

 
Dato $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$, un’equazione irrazionale si scrive come

$\root{n}{f(x)} = g(x)$

 
1° caso: se $n$ è dispari, allora l’insieme di definizione $D$ coincide con l’insieme in cui sono ben definite $f(x)$ e $g(x)$

2° caso: se $n$ è pari, allora l’insieme di definizione $D$ coincide con l’insieme delle $x \in \mathbb{R}$ tali per cui $f(x)$ e $g(x)$ risultano ben definite e inoltre $f(x), g(x) \ge 0$

Una volta determinato $D$, si elevano ambo i membri alla pontenza $n$-esima, ottenendo

$f(x) = g^n(x)$

 
La soluzione dell’equazione iniziale coincide con l’insieme delle $x$ appartenenti a $D$ tali che $f(x) = g^n(x)$.

Esempio: risolvere $\sqrt{2x+6} = x – 1$

L’insieme di definizione è $D = \{x \in \mathbb{R}: x \ge 1\}$. Elevando ambo i membri al quadrato si ottiene

$2x +6 = x^2 – 2x + 1 \implies x^2 – 4x -5 = 0 \implies x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4+5} = 2 \pm 3$

 
Risulta $x_1 = -1$, $x_2 = 5$. Dato che $x_1 \notin D$, l’unica soluzione dell’equazione è $x = 5$.

 

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