Fattoriale e semifattoriale

Fattoriale

Definizione 

Per ogni $n \in \mathbb{N}$, si definisce il fattoriale ricorsivamente così come segue

$n! = \{(1, \quad "se " n = 0),(n \cdot (n-1)!, \quad "se " n > 0):}$

Pertanto il fattoriale di ogni numero naturale $n$ coincide con il prodotto dei primi $n$ naturali

$n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = \prod_{k=1}^n k$

Proprietà del fattoriale 

Direttamente dalla definizione discendono le seguenti proprietà

$\frac{n!}{(n-1)!} = n \quad \forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$

$\frac{n!}{n} = (n-1)! \quad \forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$

$\frac{n!}{m!} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n – m + 2) \cdot (n – m + 1) \quad n, m \in \mathbb{N}, \quad n > m$

Vale inoltre l’approssimazione di Stirling

$n! \approx n^n \cdot e^{-n} \sqrt{2 \pi n}$

Semifattoriale

Definizione 

Per ogni $p \in \mathbb{N}$ pari, si definisce il semifattoriale ricorsivamente così come segue

$p!! = \{(1, \quad "se " p = 0),(p \cdot (p-2)!!, \quad "se " p \ge 2):}$

Nel caso di $d \in \mathbb{N}$ dispari, la definizione è del tutto analoga

$d!! = \{(1, \quad "se " d = 1),(d \cdot (d-2)!!, \quad "se " d \ge 3):}$

Dunque per ogni naturale pari $p$, il semifattoriale di $p$ equivale al prodotto di tutti i naturali pari compresi fra $2$ e $p$

$p!! = p \cdot (p – 2) \cdot (p – 4) \cdot \ldots \cdot 4 \cdot 2 = \prod_{k=1}^{\frac{p}{2}} 2k$

Analogamente, per ogni naturale dispari $d$, il semifattoriale di $d$ equivale al prodotto di tutti i naturali dispari compresi fra $1$ e $d$

$d!! = d \cdot (d – 2) \cdot (d – 4) \cdot \ldots \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 = \prod_{k=0}^{\frac{d-1}{2}} 2k + 1$

Proprietà del semifattoriale 

Il fattoriale ed il semifattoriale sono legati dalla seguente formula

$n! = n!! \cdot (n-1)!! \quad \forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$



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