Funzioni iperboliche

Le funzioni iperboliche (seno iperbolico, coseno iperbolico, tangente iperbolica, cotangente iperbolica, secante iperbolica, cosecante iperbolica) sono definite nel modo seguente

$\sinh(x) = \frac{e^x – e^{-x}}{2} \qquad \cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
 
$"tgh"(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \qquad "cotgh"(x) = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)}$
 
$"sech"(x) = \frac{1}{\cosh(x)} \qquad "cosech"(x) = \frac{1}{\sinh(x)}$
 

Relazione fondamentale

$\cosh^2(x) – \sinh^2(x) = 1$
 

Simmetrie

$\sinh(-x) = – \sinh(x) \qquad \cosh(-x) = \cosh(x) \qquad "tgh"(-x) = – "tgh"(x)$
 

Formule di addizione

 

$\sinh(x + y) = \sinh(x) \cosh(y) + \cosh(x) \sinh(y)$
 
$\sinh(x – y) = \sinh(x) \cosh(y) – \cosh(x) \sinh(y)$
 
$\cosh(x + y) = \cosh(x) \cosh(y) + \sinh(x) \sinh(y)$
 
$\cosh(x – y) = \cosh(x) \cosh(y) – \sinh(x) \sinh(y)$
 
$"tgh"(x + y) = \frac{"tgh"(x) + "tgh"(y)}{1 + "tgh"(x) "tgh"(y)}$
 
$"tgh"(x – y) = \frac{"tgh"(x) – "tgh"(y)}{1 – "tgh"(x) "tgh"(y)}$
 

Formule di duplicazione

 

$\sinh(2x) = 2 \sinh(x) \cosh(x)$
 
$\cosh(2x) = \cosh^2(x) + \sinh^2(x) = 2 \cosh^2(x) – 1 = 1 + 2 \sinh^2(x)$
 
$"tgh"(2x) = \frac{2 "tgh"(x)}{1 + "tgh"^2(x)}$
 
 

Formule di bisezione

 

$\sinh^2(x) = \frac{\cosh(2x) – 1}{2} \qquad \cosh^2(x) = \frac{\cosh(2x) + 1}{2} \qquad "tgh"(x) = \frac{\cosh(2x) – 1}{\sinh(2x)} = \frac{\sinh(2x)}{\cosh(2x) + 1}$
 

Formule di prostaferesi

 

$\sinh(p) + \sinh(q) = 2 \sinh(\frac{p+q}{2}) \cosh(\frac{p-q}{2})$
 
$\sinh(p) – \sinh(q) = 2 \cosh(\frac{p+q}{2}) \sinh(\frac{p-q}{2})$
 
$\cosh(p) + \cosh(q) = 2 \cosh(\frac{p+q}{2}) \cosh(\frac{p-q}{2})$
 
$\cosh(p) – \cosh(q) = 2 \sinh(\frac{p+q}{2}) \sinh(\frac{p-q}{2})$
 

Formule parametriche

 

$\sinh(x) = \frac{2 "tgh"(\frac{x}{2})}{1 – "tgh"^2(\frac{x}{2})} \qquad \cosh(x) = \frac{1 + "tgh"^2(\frac{x}{2})}{1 – "tgh"^2(\frac{x}{2})} \qquad "tgh"(x) = \frac{2 "tgh"(\frac{x}{2})}{1 + "tgh"^2(\frac{x}{2})}$
 

Funzioni inverse 

 

Le funzioni inverse delle funzioni iperboliche considerate sono rispettivamente settore seno iperbolico, settore coseno iperbolico, settore tangente iperbolica, settore cotangente iperbolica, settore secante iperbolica, settore cosecante iperbolica
 
$"settsinh"(x) = \log(x + \sqrt{x^2 + 1}) \qquad "settcosh"(x) = \log(x – \sqrt{x^2 – 1})$
 
$"setttgh"(x) = \frac{1}{2} \log(\frac{1 + x}{1 – x}) \qquad "settcotgh"(x) = \frac{1}{2} \ln(\frac{x+1}{x-1})$ 
 
 $"settsech"(x) = \ln(\frac{1 \pm \sqrt{1 – x^2}}{x}) \qquad "settcosech"(x) = \ln(\frac{1 \pm \sqrt{1 + x^2}}{x})$
 
I logaritmi si intendono in base $e$.
 

Funzioni iperboliche e goniometriche con argomento complesso

 
$\cosh(i x) = \cos(x)$
 
$\sinh(i x) = i \cdot \sin(x)$
 
$"tgh"(i x) = i \cdot "tg"(x)$
 
$\sinh(x) = – i \cdot \sin(i x)$
 
$\cosh(x) = \cos(i x)$
 
$"tgh"(x) = -i \cdot "tg"(i x)$
 
$"settsinh"(x) = i \cdot "arcsin"(i x)$
 
$"settcosh"(x) = i \cdot "arccos"(i x)$
 
  $"setttgh"(x) = i \cdot "arctg"(- i x)$
 

 

 

 

Commenti

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Ci sono 5 commenti su questo articolo:

  1. grazie! qui c’è molto di cui spesso ho bisogno (studente di ingegneria della facolta di padova)

  2. Esiste da qualche parte in questo sito una tabella riassuntiva dei principali valori assunti da sinh(x), cosh(x), tanh(x) e sech(x) per 0, pigreco/2, pigreco e 3*pigreco/2 ?

  3. sono perfettamente daccordo con rapink,…sarebbero davvero utili anche i grafici!!

  4. sarebbero utili anche dei grafici con l’andamento delle funzioni; anche se è un formulario..