Geometria analitica nel piano: cicloide

Definizione: la cicloide è la curva descritta da un punto fisso su di una circonferenza che rotola su una retta.
cicloide.gif
Lunghezza di un arco: la lunghezza di un arco della cicloide è $8r$, dove $r$ è il raggio del cerchio generatore.
 
Area sottesa da un arco: l’area sottostante un arco di cicloide è pari al triplo dell’area del cerchio generatore, cioè è pari a $3 pi r^2$.
 
Equazione parametrica: se $r$ è il raggio del cerchio generatore, l’equazione parametrica della cicloide è
 
${(x = r (t – sin(t))),(y = r (1 – cos(t))):} qquad t in mathbb{R}$
 
Equazione cartesiana: se $r$ è il raggio del cerchio generatore, l’equazione cartesiana della cicloide è
 
$x = sqrt{y (2r – y)} + r cdot "arccos"(1 – frac{y}{r})$
 
Differenziabilità: nei punti in cui è differenziabile, cioè ovunque ad eccezione delle cuspidi, la cicloide rispetta la seguente relazione
 
$(frac{d y}{d x})^2 = frac{2r – y}{y}$
 

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