Geometria analitica nel piano: circonferenza

Definizione: una circonferenza è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto dato detto centro.

Equazione cartesiana: l’equazione cartesiana di una circonferenza con centro in $(\alpha, \beta)$ e raggio $R$ è

$(x – \alpha)^2 + (y – \beta)^2 = R^2$

Analogamente l’equazione $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$, se $\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} – c \ge 0$, rappresenta una circonferenza con

centro in $(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2})$

raggio pari a $R = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} – c} = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2 – 4c}$
Caso particolare: se $\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} – c = 0$ l’equazione $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ rappresenta il solo punto di coordinate $(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2})$.

Circonferenze con centro nell’origine: l’equazione di una circonferenza di raggio $R$ e centro nell’origine è $x^2 + y^2 = R^2$

 
Equazione parametrica: data una circonferenza con equazione cartesiana $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ (dunque $\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} – c \ge 0$), la sua equazione parametrica è
 
$\{(x = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} – c} \quad \cos(t)),(y = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} – c} \quad \sin(t)):} \qquad t \in [0, 2 \pi)$

Circonferenze passanti per l’origine: l’equazione di una circonferenza passante per l’origine è $x^2 + y^2 + ax + by = 0$, in cui, rispetto all’equazione canonica, risulta $c=0$.

Intersezioni fra una circonferenza e una retta: una circonferenza di equazione $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ e una retta di equazione $a’x + b’y + c’=0$ si intersecano nei punti che risolvono il sistema

$\{(x^2 + y^2 + ax + by + c = 0),(a’x + b’y + c’ = 0):}$

Ricavando una variabile dalla seconda equazione e sostituendo tale valore nella prima si ottiene un’equazione di secondo grado, e indicando con $\Delta$ il suo distcriminante si distinguono i tre seguenti casi

– se $\Delta < 0$ il sistema non ha soluzioni reali, e la retta risulta esterna alla circonferenza

– se $\Delta = 0$ il sistema ha due soluzioni reali coincidenti, e in tal caso la retta risulta tangente alla circonferenza

– se $\Delta > 0$ il sistema ha due soluzioni reali distinte, e la retta risulta secante

Rette tangenti ad una circonferenza: se $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ è l’equazione di una circonferenza $\gamma$, e $P = (x_0, y_0)$ è un punto esterno alla circonferenza, allora le due tangenti a $\gamma$ passanti per $P$ hanno equazione $y – y_0 = m (x – x_0)$, dove i due valori di $m$ si ottengono imponendo che il sistema

$\{(x^2 + y^2 + ax + by + c = 0),(y – y_0 = m (x – x_0)):}$

abbia due soluzioni reali coincidenti, esattamente come al passo precedente. Notare che se nel porre il discriminante uguale a zero si ottiene un’equazione in $m$ di primo grado, allora una tangente è $x = x_0$.

Circonferenza passante per tre punti: se $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ e $(x_3, y_3)$ sono tre punti non allineati, allora l’equazione della circonferenza passante per tali punti è $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$, dove i parametri $a,b,c$ sono la soluzione del sistema

$\{(x_1^2 + y_1^2 + a x_1 + b y_1 + c = 0),(x_2^2 + y_2^2 + a x_2 + b y_2 + c = 0),(x_3^2 + y_3^2 + a x_3 + b y_3 + c = 0):}$

Circonferenza di cui si conosce il centro e un punto di passaggio: l’equazione della circonferenza con centro in $(\alpha, \beta)$ e passante per il punto $(x_0, y_0)$ è

$(x – \alpha)^2 + (y – \beta)^2 = (x_0 – \alpha)^2 + (y_0 – \beta)^2$

Circonferenza di cui si conosce il centro e una retta tangente: l’equazione di una circonferenza con centro in $(\alpha, \beta)$ e tangente alla retta di equazione $ax + by + c = 0$ è

$(x – \alpha)^2 + (y – \beta)^2 = \frac{(a \alpha + b \beta + c)^2}{a^2 + b^2}$
 
Circonferenze concentriche: al variare di $k \in \mathbb{R}$, l’equazione
 
$(x – \alpha)^2 + (y – \beta)^2 = k^2$
 
rappresenta l’insieme di tutte le circonferenze con centro in $(\alpha, \beta)$.
 
Circonferenze tangenti ad una retta data in un punto: siano $x^2 + y^2 + a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ e $x^2 + y^2 + a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ le equazioni di due circonferenze (distinte) tangenti in un punto $P = (x_0, y_0)$ ad una retta $r$. Al variare di $h, k \in \mathbb{R}$, con $h \ne -k$, l’equazione
 
$(h + k) x^2 + (h + k) y^2 + (h a_1 + k a_2) x + (h b_1 + k b_2) y + h c_1 + k c_2 = 0$
 
rappresenta l’insieme di tutte le circonferenze tangenti alla retta $r$ nel punto $P$.
 


Commenti

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Ci sono 11 commenti su questo articolo:

  1. Ciao, scusatemi ma nel formulario c’è qualcosa che non torna con la formula del Raggio. A me non risulta il fratto 4 sotto radice. Potete verificare? Grazie

  2. Se io ho solo il diametro o il raggio come faccio a determinare l’equazione della circonferenza ?

  3. @alex danieli
    tu hai il centro C(alpha;beta) e il raggio R. la circonferenza si trova semplicemente facendo:
    (x-±)^2+(y-²)^2=R^2
    c’è scritto all’inizio… ps: la scrittura ^2 indica l’elevazione al quadrato…

  4. ma se io ho il centro e il reggio come faccio a calcolare l’equazione della circonferenza??

  5. grazie molto utile ma sarebbe meglio anche qualche esercizio per comprendere meglio

  6. come si fa a calcolare l’eq. della circonferenza a partire da 2 punti appartenenti ad essa e il raggio??

  7. non si potrebbe fare una videorelazione anke sulla geometria analitica quindi sulle coniche?