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di _Tipper
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Definizione: una parabola è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice.

1° caso: parabola con asse di simmetria parallelo all'asse
[math]y[/math]

Equazione cartesiana: l'equazione cartesiana di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse

[math]y[/math]
è
[math]y = a x^2 + bx + c[/math]
, con
[math]a, b, c \in \mathbb{R}[/math]
e
[math]a \ne 0[/math]
.

Equazione parametrica: l'equazione parametrica di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse

[math]y[/math]
è

[math]\egin{cases} x = t \\ y = a t^2 + bt + c \ \end{cases} qquad t \in \mathbb{R}[/math]

Fuoco: le coordinate del fuoco sono
[math]F = (-\frac{b}{2a}, \frac{1 - b^2 + 4 ac}{4a})[/math]

Direttrice: l'equazione della direttrice è

[math]y = \frac{-1 - b^2 + 4ac}{4a}[/math]

Asse di simmetria: l'asse di simmetria ha equazione

[math]x = -\frac{b}{2a}[/math]

Vertice: il vertice ha coordinate

[math]V = (-\frac{b}{2a}, \frac{-b^2 + 4ac}{4a})[/math]

Concavità : se

[math]a > 0[/math]
la parabola rivolge la concavità  verso l'alto, e si dice convessa, se invece
[math]a rivolge la concavità  verso il basso, e si dice concava.

2° caso: parabola con asse di simmetria parallelo all'asse
[math]x[/math]

Equazione cartesiana: l'equazione cartesiana di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse

[math]x[/math]
è
[math]x = a y^2 + by + c[/math]
, con
[math]a, b, c \in \mathbb{R}[/math]
e
[math]a \ne 0[/math]
.

Equazione parametrica: l'equazione parametrica di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse

[math]x[/math]
è

[math]\egin{cases} x = a t^2 + bt + c \\ y = t \ \end{cases} qquad t \in \mathbb{R}[/math]

Fuoco: le coordinate del fuoco sono
[math]F = (\frac{1 - b^2 + 4 ac}{4a}, -\frac{b}{2a})[/math]

Direttrice: l'equazione della direttrice è

[math]x = \frac{-1 - b^2 + 4ac}{4a}[/math]

Asse di simmetria: l'asse di simmetria ha equazione

[math]y = -\frac{b}{2a}[/math]

Vertice: il vertice ha coordinate

[math]V = (\frac{-b^2 + 4ac}{4a}, -\frac{b}{2a})[/math]

Concavità : se

[math]a > 0[/math]
la parabola rivolge la concavità  verso destra, se invece
[math]a rivolge la concavità  verso sinistra.

Nel seguito si considera il caso di parabola con asse di simmetria parallelo all'asse

[math]y[/math]
, ma tutti i ragionamenti possono essere estesi per dualità  al caso di parabole con asse di simmetria parallelo all'asse
[math]x[/math]

Intersezioni di una parabola con una retta: data un parabola di equazione, il punto di intersezione con una retta parallela all'asse

[math]y[/math]
di equazione
[math]x = x_0[/math]
è
[math](x_0, a x_0^2 + b x_0 + c)[/math]
. Se invece la retta non è parallela all'asse
[math]y[/math]
, ma ha equazione
[math]y = mx + q[/math]
, si distinguono i seguenti casi

- se

[math]b^2 - 2bm + m^2 - 4ac + 4aq allora la retta e la parabola non si intersecano

- se

[math]b^2 - 2bm + m^2 - 4ac + 4aq = 0[/math]
allora la retta è tangente alla parabola nel punto
[math](\frac{m-b}{2a}, \frac{m^2 - mb + 2aq}{2a})[/math]

- se

[math]b^2 - 2bm + m^2 - 4ac + 4aq > 0[/math]
allora la retta interseca la parabola nei due punti

[math](\frac{m - b - \sqrt{b^2 - 2bm + m^2 - 4ac + 4aq}}{2a}, \frac{m - b - \sqrt{b^2 - 2bm + m^2 - 4ac + 4aq}}{2a} \cdot m + q)[/math]

[math](\frac{m - b + \sqrt{b^2 - 2bm + m^2 - 4ac + 4aq}}{2a}, \frac{m - b + \sqrt{b^2 - 2bm + m^2 - 4ac + 4aq}}{2a} \cdot m + q)[/math]

Rette tangenti ad una parabola: data una parabola

[math]\gamma[/math]
di equazione
[math]y = a x^2 + bx + c[/math]
e un punto esterno alla parabola
[math]P = (x_0, y_0)[/math]
, le equazioni delle rette passanti per
[math]P[/math]
e tangenti a
[math]\gamma[/math]
sono
[math]y - y_0 = m_1 (x - x_0)[/math]
[math]y - y_0 = m_2 (x - x_0)[/math]

dove

[math]m_1[/math]
e
[math]m_2[/math]
sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado in
[math]m[/math]

[math]m^2 - (2b + 4 a x_0) m + b^2 - 4ac + 4a y_0 = 0[/math]

Parabola passante per tre punti: l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse

[math]y[/math]
passante per i punti
[math](x_1, y_1)[/math]
,
[math](x_2, y_2)[/math]
e
[math](x_3, y_3)[/math]
è
[math]y = ax^2 + bx + c[/math]
, dove
[math]a,b,c[/math]
sono la soluzione del sistema

[math]\egin{cases} y_1 = a x_1^2 + b x_1 + c \\ y_2 = a x_1^2 + b x_2 + c \\ y_3 = a x_3^2 + b x_3 + c \ \end{cases}[/math]

Parabola di cui si conosce vertice e fuoco: l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse

[math]y[/math]
, di cui si conoscono il vertice
[math]V = (x_0, y_0)[/math]
e il fuoco
[math]F = (x_0, y_1)[/math]
è
[math]y = ax^2 + bx + c[/math]
, dove
[math]a,b,c[/math]
sono la soluzione del sistema

[math]\egin{cases} -\frac{b}{2a} = x_0 \\ y_0 = a x_0^2 + b x_0 + c \\ y_1 = \frac{1 - b^2 + 4ac}{4a} \ \end{cases}[/math]

Parabola di cui si conosce un vertice e un punto di passaggio: l'equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse

[math]y[/math]
, avente vertice in
[math]V = (x_0, y_0)[/math]
e passante per il punto
[math](x_1, y_1)[/math]
è
[math]y = ax^2 + bx + c[/math]
,
[math]a,b,c[/math]
sono la soluzione del sistema

[math]\egin{cases} -\frac{b}{2a} = x_0 \\ y_0 = a x_0^2 + b x_0 + c \\ y_1 = a x_1^2 + b x_1 + c \ \end{cases}[/math]

Parabola di cui si conosce il vertice e la direttrice: l'equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse

[math]y[/math]
, avente vertice in
[math]V = (x_0, y_0)[/math]
e avente direttrice di equazione
[math]y = y_d[/math]
è
[math]y = ax^2 + bx + c[/math]
, dove
[math]a,b,c[/math]
sono la soluzione del sistema

[math]\egin{cases} -\frac{b}{2a} = x_0 \\ y_0 = a x_0^2 + b x_0 + c \\ y_d = \frac{-1-b^2 + 4ac}{4a} \ \end{cases}[/math]

Parabola di cui si conosce l'equazione dell'asse di simetria, la direttrice e un punto di passaggio: l'equazione con asse di simmetria avente equazione

[math]x = x_s[/math]
, direttrice
[math]y = y_d[/math]
e passante per il punto
[math](x_0, y_0)[/math]
è
[math]y = ax^2 + bx + c[/math]
, dove
[math]a,b,c[/math]
sono la soluzione del sistema

[math]\egin{cases} -\frac{b}{2a} = x_s \\ y_d = \frac{-1-b^2 + 4ac}{4a} \\ y_0 = a x_0^2 + b x_0 + c \ \end{cases}[/math]

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