Geometria analitica nello spazio: sfera, ellissoide, paraboloide

Sfera

Equazione cartesiana: l’equazione cartesiana di una sfera con centro in $(x_0, y_0, z_0)$ e raggio $R$ è
 
$(x – x_0)^2 + (y – y_0)^2 + (z – z_0)^2 = R^2$
 
Equazione in coordinate sferiche: l’equazione in coordinate sferiche di una sfera con centro in $(x_0, y_0, z_0)$ e raggio $R$ è
 
${(x = x_0 + R sin( heta) cos(phi)),(y = y_0 + R sin( heta) sin(phi)),(z = z_0 + R cos( heta)):} qquad heta in [0, pi] quad phi in [0, 2 pi)$
 
Area: data una sfera di raggio $R$, la superficie sferica vale $4 pi R^2$
 
Volume: il volume di una sfera con raggio $R$ vale $frac{4}{3} pi R^3$
 

Ellissoide

 

ellissoide.gif

 
Equazione cartesiana: dati $a, b, c in mathbb{R}^+$, l’equazione cartesiana dell’ellissoide standard è

$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2}  +frac{z^2}{c^2} = 1$
 
Se $a = b$ o $b = c$ o $a = c$ l’ellissoide viene detto sferoide, se invece $a = b = c$ l’equazione precedente identifica una sfera con centro in $(0,0,0)$ e raggio $a$.
 
Volume: il volume di un ellissoide con equazione $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} + frac{z^2}{c^2} = 1$ è $"Volume" = frac{4}{3} pi abc$.
 

Paraboloide

I due luoghi geometrici trattati nel seguito sono detti paraboloidi perché le loro sezione verticali sono parabole.

Paraboloide ellittico

paraboloide_ellittico.jpg
Equazione cartesiana: l’equazione cartesiana di un paraboloide ellittico è $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} + 2z = 0$
 
Un tale paraboloide si chiama ellittico perché le sue sezioni orizzontali sono ellissi.

Paraboloide iperbolico

paraboloide_iperbolico.jpg
Equazione cartesiana: l’equazione cartesiana di un paraboloide ellittico è $frac{x^2}{a^2} – frac{y^2}{y^2} + 2z = 0$
 
Un tale paraboloide si dice iperbolico perché le sue sezioni orizzontali sono iperboli.
 

Commenti

commenti

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  1. Sintesi e chiarezza s’intrecciano e fanno venir fuori una trattazione elegante.
    Complimenti! Ciao Lillo