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Appunto con descrizione e formulario completo di geometria solida: parallelepipedo, cubo, prisma, piramide, tronco di piramide, poliedri regolari, cilindro, cono, tronco di cono, sfera, calotta sferica e segmento sferico a una base, settore sferico, zona sferica e segmento sferico a due basi, fuso sferico o spicchio sferico, cilindro a sezione obliqua, corona cilindrica, obelisco, cuneo, toro, prisma obliquo triangolare.

Geometria solida

La geometria solida è una branca della geometria che studia gli oggetti che si sviluppano in tre dimensioni (ricordiamo che la geometria piana è invece la branca della geometria che studia le figure che si sviluppano in due dimensioni, tali figure quindi appartengono ad un solo piano).
Dato che nella geometria solida è presente una dimensione in più rispetto alla geometria piana, è necessario introdurre alcuni concetti aggiuntivi quali ad esempio il volume di un oggetto.
Nella geometria piana era possibile calcolare l’area di un oggetto andando a misurare la porzione di piano che viene delimitata dalla figura.
In tre dimensioni è sempre possibile calcolare l’area di una superficie ma viene aggiunto il concetto di volume di un oggetto; il volume di un oggetto corrisponde alla porzione di spazio che viene delimitata dall’oggetto.

Nello spazio tridimensionale è possibile costruire delle figure che prendono il nome di solidi.
Riportiamo in seguito la descrizione di alcuni solidi importanti e ricorrenti nei problemi scolastici.

Il parallelepipedo

Consideriamo un rettangolo ed estendiamo il rettangolo nella terza dimensione, facendo così otteniamo una figura solida che prende il nome di parallelepipedo.
Il parallelepipedo è caratterizzato da una base rettangolare (ha un rettangolo come base) e da lati verticali che sono perpendicolari alla base.
Il volume di tale solido (parte di spazio compresa dalla figura) può essere calcolato attraverso la seguente formula:
[math]V = A_b \cdot c = a \cdot b \cdot c[/math]

Dove V è il volume del solido,

[math]A_b[/math]
è l’area di base del parallelepipedo, c è l’altezza del parallelepipedo mentre a e b sono i lati del rettangolo di base.
Il volume del parallelepipedo può quindi essere calcolato moltiplicando l’area di base del parallelepipedo per l’altezza del solido.

Dato che il parallelepipedo si estende in tre dimensioni, è possibile calcolare l’area di una faccia andando semplicemente a moltiplicare i lati che individuano la faccia considerata, se si vuole calcolare la superficie complessiva del parallelogramma è necessario sommare le aree di tutte le superfici del parallelepipedo.

Il cubo

Il cubo è un caso particolare di parallelepipedo nel quale la figura di base è un quadrato e nel quale l’altezza è equivalente al lato del quadrato di base.
Il cubo è quindi un solido composto da 6 facce di forma quadrata, da 8 vertici (i vertici sono i punti di intersezione di tre facce) e da 12 spigoli (uno spigolo è il segmento di intersezione tra due facce).
Per calcolare il volume di un cubo è possibile considerare la formula che esprime il volume di un cubo e imporre che i lati del cubo sono tutti congruenti, si ottiene quindi che il volume del cubo può essere calcolato utilizzando la seguente formula:
[math]V=l^3[/math]

Dove l è il lato del cubo.

L’area di una faccia può essere calcolata utilizzando la formula che esprime l’area di un quadrato:

[math]A_f=l^6[/math]

Dato che il cubo è composto da 6 facce quadrate, si può facilmente affermare che l’area totale di un cubo è pari a 6 volte l’area di una faccia perciò:

[math]A_t=6l^2[/math]

Per ulteriori approfondimenti sul cubo e sulle sue caratteristiche vedi anche qua

La piramide retta

Una piramide retta è un solido tridimensionale costituito da una base poligonale, consideriamo per semplicità una base quadrata e delle superfici laterali di forma triangolare, tutte le superfici laterali condividono un vertice del triangolo che prende il nome di vertice della piramide.
L’area di base della piramide può essere calcolata utilizzando la formula che esprime l’area della figura di base; l’area delle facce laterali può essere calcolata utilizzando la formula che esprime l’area di un triangolo.
Il volume di una piramide a base quadrata può essere invece calcolato attraverso la seguente formula:
[math]V= \frac{1}{3} A_b \cdot h[/math]

Dove l’altezza (h) è il segmento che ha come estremo il vertice della piramide e che cade perpendicolarmente alla base.

Solidi di rotazione

I solidi di rotazione sono solidi che sono generati dalla rotazione di alcuni elementi geometrici attorno ad un asse.
Esempi di solidi di rotazione sono il cilindro e il cono.

Il cilindro è un solido generato dalla rotazione di un rettangolo attorno ad un proprio lato, si ottiene quindi un solido tridimensionale costituito da una base circolare e da una superficie laterale disposta in modo ortogonale alla base.

Il cono è invece un solido di rotazione generato dalla rotazione di un triangolo rettangolo attorno ad uno dei due cateti, si ottiene quindi un solido a base circolare.

Nel file allegato è presente un formulario che riporta il calcolo del volume e dell’area dei solidi riportati nell’appunto e di solidi più complessi.
Per ulteriori approfondimenti sul cilindro vedi anche qua