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In questo appunto di matematica si troverà un excursus generale sugli insiemi numerici e in particolare sui numeri primi. Inoltre, sono presenti degli accenni su minimo comune multiplo, massimo comune divisore, divisibilità e approssimazione. Puoi trovare in allegato un formulario in cui sono riassunte tutte queste informazioni.

Cosa sono gli insiemi numerici e quali sono i principali

Gli insiemi numerici sono raggruppamenti in cui gli elementi sono dei numeri aventi delle specifiche caratteristiche in comune.
Essi sono molto utili in matematica, soprattutto nella scrittura dei domini. La definizione del dominio è il primo step dello studio di funzione: se non esistessero gli insiemi numerici - e in particolare l'insieme dei numeri reali - sarebbe impossibile sancire un range di valori attribuibili all'incognita affinché la funzione sia valida.

Anche nel caso delle operazioni numeriche tali insiemi sono importanti: qualora non si consideri il corretto insieme numerico, infatti, i risultati di alcune di esse non potrebbero essere indicati. Il caso più emblematico è quello del valore della radice quadrata di un numero negativo: il risultato non può essere scritto se si considera soltanto l'insieme dei numeri reali, ma estendere la trattazione a quello dei numeri complessi.

In matematica, gli insiemi numerici sono sei e sono:

  • l'insieme dei numeri naturali, cioè l'insieme dei numeri interi positivi
  • l'insieme dei numeri interi, che comprende i numeri naturali, lo zero e i numeri negativi
  • l'insieme dei numeri razionali, cioè tutti i numeri interi e i numeri frazionali, sia finiti che periodici
  • l'insieme dei numeri irrazionali, come quelli ottenuti da radice e i valori trascendenti, come quelli derivati dal logaritmo e dalle funzioni trigonometriche
  • l'insieme dei numeri reali, il quale contiene tutti gli insiemi precedentemente citati.
  • l'insieme dei numeri complessi, che aggiunge ai numeri reali le radici dei numeri negativi

Elenco e descrizione degli assiomi correlati agli insiemi numerici

Glì insiemi numerici sono definiti attraverso l'utilizzo di assiomi, cioè principi evidenti e non dimostrabili. Nel caso degli insiemi numerici, essi sono l'assioma di Peano, il principio di induzione, le sezioni di Dedekind e il sistema assiomatico dei numeri reali.

Cosa afferma l'assioma di Peano

Gli assiomi di Peano sono 5 e sono utilizzati per caratterizzare i numeri reali. In particolare essi sono:
  • Esiste il numero naturale zero
  • Ogni numero naturale presenta un successore
  • Se i numeri sono diversi presentano successori diversi
  • 0 non è successore di nessun numero naturale
  • Ogni insieme di numeri naturali che soddisfa i primi due assiomi coincide con l'intero insieme dei numeri naturali

Definizione del principio di induzioni e delle sezioni di Dedekind per gli insiemi numerici

Il principio di induzione afferma che se una proprietà
[math]P(n)[/math]
sui numeri naturali verifica le condizioni
[math]P(0) è vera[/math]
e
[math]P(n)\rightarrow P(n+1)[/math]
per ogni valore di
[math]n[/math]
maggiore di 1, allora la proprietà
[math]P(n)[/math]
è vera per ogni
[math]n[/math]
.

Per quanto riguarda le sezioni di Dedekind, invece, essi spiegano come l'insieme dei numeri reali può essere costruito a partire dai numeri razionali. In particolare, due sottoinsiemi

[math]A[/math]
e
[math]B[/math]
costituiscono una sezione di Dedekind se sono soddisfatte queste condizioni:
[math]A\cap B= \emptyset[/math]
,
[math]A\cup B=Q[/math]
e che
[math]a per ogni elemento
[math]a[/math]
che appartiene al sottoinsieme
[math]A[/math]
e per ogni elemento
[math]b[/math]
che appartiene al sottoinsieme
[math]B[/math]
.

Cosa afferma il sistema assiomatico dei numeri reali

Il sistema assiomatico dei numeri reali afferma due concetti importanti. Il primo è che la parte positiva dei numeri reali è un campo e che quindi tutte le operazioni in esse effettuate godono della proprietà commutativa, associativa e distributiva che spiegheremo nel successivo paragrafo. Inoltre esse presentano l'elemento neutro e ciascun numero reale positivo presenta l'inverso rispetto a ogni operazione, ad eccezione dello 0 che non ha l'inverso della moltiplicazione.

Il secondo punto del sistema afferma che l'insieme dei numeri reali è un insieme ordinato, ciò significa che vale la proprietà riflessiva, antisimmetrica, transitiva e di totalità.

Le proprietà delle operazioni tra numeri

Le operazioni numeriche godono di alcune proprietà che conferiscono loro precise caratteristiche. Le proprietà relative alle operazioni numeriche sono:
  • la proprietà commutativa della somma, per cui cambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia
  • la proprietà associativa della somma, per cui in presenza di più addendi se si sostituisce due di loro con la propria somma il risultato non cambia
  • la proprietà commutativa della moltiplicazione, secondo la quale cambiando l'ordine dei fattori il prodotto non cambia
  • la proprietà associativa della moltiplicazione, in cui in presenza di più fattori se due o più di essi sono sostituiti con il loro prodotto il risultato non cambia
  • la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma, ossia il risultato del prodotto di un numero per una somma è pari alla somma dei risultati del prodotto tra il numero e i singoli addendi
  • la proprietà invariantiva della sottrazione, per cui se si aggiunge o si sottrae a entrambi i termini della sottrazione lo stesso numero la differenza non cambia
  • la proprietà distributiva della divisione rispetto alla somma, secondo la quale il risultato della divisione tra una somma di e un numero è pari alla somma dei quozienti tra gli addendi e il numero

Cosa sono i numeri primi e il concetto di divisibilità

Si definiscono numeri primi i numeri naturali maggiori di 1 che sono divisibili soltanto per se stesso e per uno. Sono esempi di numeri primi 2,3,5,7,5119,10061, ma cosa significa "essere divisbili"?
Un numero è "divisibile" per un altro numero se, dividendo il primo per il secondo, il resto ammonta a zero. Questa definizione si appoggia sul teorema fondamentale dell'aritmetica, secondo il quale ogni numero composto, ossia ogni numero non primo, può essere rappresentato come prodotto tra fattori primi.

Esistono delle regole che aiutano a sancire a priori la divisibilità di un numero per un altro numero, senza prima effettivamente svolgere l'operazione.
Per valutare la divisibilità di un numero per 2, ad esempio, bisogna osservare l'ultima cifra: se è pari, allora il numero è divisibile per due. In questo modo è possibile definire anche la divisibilità per 5, che risulta valida se l'ultima cifra è 0 o 5. Puoi trovare tutti gli altri criteri per valutare la divisibilità nel file in allegato.

Cosa sono il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo

I concetti di massimo comune divisore e minimo comune multiplo discendono da quello di divisori e divisibilità. Conoscere il secondo è utile in quanto permette di svolgere operazioni di somma e sottrazione tra numeri espressi in forma frazionaria.
In particolare, il massimo comune divisore tra due o più numeri interi è il più grande numero naturale tra i divisori comuni ai numeri dati. Per esempio, il massimo comune divisore tra 12 e 16 è 4, perchè entrambi i numeri sono divisibili per 4.

Si definisce, invece, minimo comune multiplo tra due o più numeri interi il più piccolo tra i multipli comuni ai numeri considerati. Il minimo comune multiplo tra 12 e 15 è 60.

Come effettuare correttamente un'approssimazione numerica

A seguito di un'operazione, potrebbe essere necessario effettuare un'approssimazione qualora si desideri scrivere un numero
[math]x[/math]
utilizzando un numero di cifre ridotto. Le approssimazioni possono essere svolte secondo diverse metodologie. E' possibile approssimare per troncamento, cioè si sostituiscono con 0 tutte le cifre dopo quella significativa, oppure per arrotondamento per difetto o per eccesso. Queste ultime due modalità si applicano tagliando il numero alla cifra significativa stabilita e aumentando l'ultima cifra di 1 se dopo di essa c'è una cifra da 5 a 9(per eccesso)oppure diminuendo l'ultima cifra di 1 (se dopo di essa c'è una cifra da 0 a 4).

Ecco il formulario precedentemente citato, su cui potrai trovare tutte le informazioni presentate in quest'appunto in maniera schematica.

Per ulteriori approfondimenti sugli insiemi numerici vedi anche qua