_Tipper
di _Tipper
(30 punti)
14' di lettura
4 / 5 (1)

In questo appunto viene fornita la definizione di integrale e vengono spiegati i principali metodi di integrazione. Sono presente inoltre delle primitive tabulate e degli integrali noti per velocizzare le operazioni utili alla risoluzione degli integrali.

Calcolo integrale

Prima però di dare tutte le formule utili, diciamo che l'integrale di una funzione
[math]f(x)[/math]
ci dà la misura dell'area che si crea tra l'asse delle ascisse e il grafico della funzione.
Quando l'integrale esiste la funzione si dirà integrabile) , in particolare, sarà positivo se la funzione è sopra l'asse
[math]x[/math]
, negativo se è sotto.

Può spesso capitare, poi, che l'integrale di

[math]f[/math]
sia esprimibile con un'altra funzione, detta primitiva di
[math]f(x)[/math]
.

Sia

[math]\mathbb{R}^*=[-\infty,+\infty][/math]
, ossia
[math]\mathbb{R}[/math]
esteso includendo anche
[math]\pm \infty[/math]
, e siano
[math]a,b \in \mathbb{R}^*[/math]
; l'integrale di una funzione
[math]f:D\subseteq R \rightarrow R[/math]
rispetto alla sua variabile
[math]x[/math]
, calcolato da
[math]a[/math]
a
[math]b[/math]
si scrive come

[math]\int _{a }^{b }{ f(x) dx } [/math]

e rappresenta l'area del grafico sotteso alla curva

[math]f[/math]
, calcolata dal punto
[math]a[/math]
al punto
[math]b[/math]
, che sono detti estremi di integrazione. Questo si chiama integrale definito e, se esiste la primitiva della nostra funzione, che chiameremo
[math]F[/math]
, il teorema fondamentale del calcolo integrale ci garantisce che posso calcolare semplicemente il valore di questo integrale mediante la seguente formula:

[math]\int _{a }^{b }{ f(x) dx } = F(b)-F(a)[/math]

É possibile anche calcolare un integrale senza definire gli estremi di integrazione, in tal caso l'integrale si dirà indefinito e, se si conosce la primitiva della funzione

[math]f[/math]
, si può calcolare come:
[math] \int _{ }^{ }{ f(x) \ dx } = F(x) + c,
[/math]

dove

[math] c \in \mathbb{R}[/math]
è una costante che dipende proprio dal fatto di non aver definito gli estremi. In questo caso il risultato non sarà più un numero, ma una funzione della variabile di integrazione
[math]x[/math]
.

Da come potete intuire, quindi, il problema del calcolo degli integrali, si riduce spesso al problema di trovare una primitiva per la funzione che sto integrando; per questo motivo il calcolo delle primitive comprende buona parte dello studio delle scuole superiori relativo agli integrali.

Vediamo quindi come calcolare le primitive.
Prima di procedere è necessario fare luce sul significato di primitiva. Dire che

[math]F[/math]
è primitiva della funzione
[math]f[/math]
, vuol dire che

[math]\frac{dF}{dx}=f(x).[/math]

In altre parole, la primitiva della funzione che sto integrando, è una funzione la cui derivata è data proprio

[math]f(x)[/math]
.

Questo ci fa capire la relazione che intercorre tra integrali e derivate e suggerisce anche che è bene, prima di approcciarsi allo studio integrale, avere ben chiaro il calcolo delle derivate, per evitare di fare confusione e di perdersi tra le formule e sul loro significato.
Per approfondimenti sulle derivate, vedi anche qua.

Calcolo delle primitive

Nonostante possa sembrare ostico, non preoccuparti: proprio come avveniva per le derivate, esistono delle regole che ci aiutano a calcolare le primitive di alcune funzioni, e queste poi ci aiutano nel calcolo di quelle più generali.
Inizieremo con le tabelle delle primitive, a seguire alcune regole di integrazione, evidenzieremo proprietà degli integrali e termineremo con alcuni esempi.

Elenchiamo le primitive più semplici (nelle quali considero sempre

[math]x[/math]
come variabile di integrazione):

[math]
\begin{array} {|c|c|} \hline
\text{Funzione} & \text{Primitiva}\\
\hline
x^{\alpha} & \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\\
\hline
e^x & e^x\\
\hline
\frac{1}{x} & \ln|x|\\
\hline
\sin(x) & -\cos(x)\\
\hline
\cos(x) & \sin(x)\\
\hline
\frac{1}{\cos^2(x)} & tgx\\
\hline
\frac{1}{(x^2+k^2)} & \frac{1}{k} arctg(\frac{x}{k})\\
\hline
\frac{1}{\sqrt{k^2-x^2}} & arcsinx\\
\hline
\end{array}
[/math]

Da queste primitive di base, si ricavano le seguenti forme generalizzate:

[math]
\begin{array} {|c|c|} \hline
\text{Funzione} & \text{Primitiva}\\
\hline
f'(x)f(x)^\alpha & \frac{f(x)^{\alpha+1}}{\alpha+1}\\
\hline
f'(x)e^{f(x)} & e^{f(x)}\\
\hline
\frac{f'(x)}{f(x)} & ln|f(x)|\\
\hline
f'(x) \sin(f(x)) & -\cos(f(x))\\
\hline
f'(x) \cos(f(x)) & \sin(f(x))\\
\hline
\frac{f'(x)}{\cos^2(f(x))} & tg(f(x))\\
\hline
\frac{f'(x)}{(f(x)^2+k^2)} & \frac{1}{k}arctg(\frac{f(x)}{k})\\
\hline
\frac{f'(x)}{\sqrt{k^2-f(x)^2}} & arcsin(f(x))\\
\hline
\end{array}
[/math]

Integrale della somma

Se ho l'integrale della somma, questo è uguale alla somma degli integrali:
[math]\int _{a }^{b }{ (f(x) + g(x))dx } = \int_{a}^{b}{f(x)dx}+ \int_{a}^{b}{g(x)dx}[/math]

Integrazione per parti

Se ho l'integrazione di un prodotto, di cui conosco almeno una primitiva posso applicare
[math] \int_{a}^{b}{f'(x) g(x) dx}=[f(x) g(x)]_a^b- \int_a^b{f(x)g'(x)}[/math]

dove la scrittura

[math][f(x) g(x)]_a^b[/math]
, vuol dire che il prodotto tra le funzioni va calcolato tra gli estremi
[math]a[/math]
e
[math]b[/math]
, ossia:
[math][f(x) g(x)]_a^b=f(b)g(b)-f(a)g(a)[/math]

Principali proprietà

[math]\int_a^bf(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx, \ \ \text{se} \ \ c\in(a,b);\\[/math]
[math]\int_a^b\alpha \ f(x) dx= \alpha \int_a^b f(x) dx[/math]

Procediamo con qualche esempio per cercare di coprire tutti i procedimenti più tipici che ricorrono nel calcolo degli integrali.

Esempio 1

[math]\int x e^{x^2} \ dx \\
[/math]

Osservo che sembra il secondo caso presente nella tabella delle primitive generalizzate, dove la funzione a potenza dell'esponenziale è

[math]x^2[/math]
.
La derivata di tale funzione è
[math]2x[/math]
, quindi ci manca solo il 2 per poter applicare la formula. come calcolare gli integraliDecido quindi di moltiplicare e dividere per 2
[math]\int x e^{x^2} = \frac{1}{2} \int 2x e^{x^2}= \frac{1}{2} e^{x^2} + c[/math]

Esempio 2

[math]\int ln(x) \ dx\\[/math]

Applico la formula di integrazione per parti considerando

[math]f'(x)=1[/math]
, quindi
[math]f(x)=x[/math]
, e
[math]g(x)=\ln(x)[/math]
, quindi
[math]g'(x)=\frac{1}{x}[/math]
:

[math]\int \ln(x) \ dx = x \ln(x) - \int x \frac{1}{x} dx = x \ln(x) - x + c [/math]

Esempio 3

[math]\int \sin^2 (x) dx\\[/math]

Derivo per parti, individuando

[math]f'(x)=\sin(x)[/math]
e
[math]g(x)=\sin(x)[/math]
. Applico la formula e trovo

[math]\int \sin^2 (x) dx= - \sin(x) \ \cos(x) + \int \cos^2 (x) dx .
[/math]
Mi scrivo
[math]\cos^2(x)[/math]
come
[math]1-\sin^2(x)[/math]
da cui:
[math]\int \sin^2 x dx= -\sin(x) \ \cos(x) + \int 1 dx -\int \sin^2(x) dx.
[/math]

A questo punto osservo che ho ottenuto di nuovo lo stesso integrale che stavo cercando, quindi lo considero come la mia variabile e lo sposto a sinistra dell'uguale, ottenendo:

[math]2 \int \sin^2 (x) dx= - \sin(x) \ \cos(x) + x +c
[/math]

quindi

[math]\int \sin^2 (x) dx= \frac{-\sin(x) \cos(x) + x}{2} +c. \\[/math]

Per ulteriori approfondimenti sull'integrazione per parti, vedi anche qua

Integrazione per sostituzione

Insieme alla regola di derivazione per parti, un altro metodo spesso utilizzato negli integrali è il metodo di sostituzione, che consiste nell'individuare una certa funzione
[math] g(x)[/math]
, all'interno della funzione
[math]f(x)[/math]
, che, sostituita opportunamente rende il mio integrale più semplice. Da un punto di vista matematico, se
[math]g(x)[/math]
è derivabile, allora:
[math]\int f(g(x)) dg(x) = \int f(t) dt = F(t) + c = F(g(x)) + c. [/math]

Facciamo un esempio:

[math]\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} dx[/math]

Definisco

[math]t=\sqrt{x}[/math]
, quindi
[math]x=t^2[/math]
. Così definita,
[math]\frac{dx}{dt}=2t[/math]
, da cui ricaviamo che
[math]dx=2tdt[/math]
. Sostituiamo le informazioni nel nostro integrale e otteniamo

[math]\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}=\int \frac{2t^2}{t-1}dt=2 \int \frac{t^2 \pm 1}{t-1}dt = 2\left[ \int \frac{(t+1)(t-1)}{t-1}+ \int \frac{1}{t+1}\right]=\\
= t^2 +2t + ln|t+1|=x+2\sqrt{x}+ln|\sqrt{x}-1|, [/math]
in cui sono stati sfruttati dei trucchetti algebrici molto comuni nel calcolo degli integrali, come aggiungere o togliere una certa quantità e spezzarmi l'integrale in modo da ottenere pezzi risolvibili.

Integrazione di funzioni razionali

L'integrazione di funzioni razionali, ossia tutte quelle della forma
[math]\frac{P(x)}{Q(x)}[/math]
, con
[math] P(x)[/math]
e
[math] Q(x)[/math]
polinomi, è spesso complicata e occorre fare ricorso alle scomposizioni polinomiali studiate negli anni precedenti (oltre che a qualche trucchetto tipico nel calcolo degli integrali). Cercheremo di essere il più possibile esaustivi con il seguente esempio.

[math]
\int \frac{x+1}{x^2+5x+6}dx\\[/math]

L'idea è ovviamente quella di semplificarmi le cose, riuscendo a ritrovare delle funzioni di cui conosco le primitive. Cerco quindi di scomporre ai minimi termini i polinomi, in particolare il denominatore in questo caso, che posso scrivere come

[math](x+3)(x+2)[/math]
. La cosa però non sembra particolarmente d'aiuto a un primo sguardo, poiché non posso semplificare con il numeratore, che mi avrebbe reso la vita molto più semplice. Vediamo allora come procedere.
Per ora abbiamo
[math]\int \frac{x+1}{(x+2)(x+3)}dx,\\[/math]

vorremmo spezzare il mio integrale come somma di due integrali più semplici da risolvere, in altre parole trovare dei numeri

[math]A[/math]
e
[math]B[/math]
che mi consentano di scrivere la mia funzione
[math]\frac{x+1}{(x+2)(x+3)}[/math]
come somma di due funzioni, cioè:

[math]\frac{x+1}{(x+2)(x+3)}=\frac{A}{(x+2)}+ \frac{B}{(x+3)}.\\[/math]

Per trovarli è semplice: faccio finta di conoscerli e mi sommo i due termini, ottenendo:

[math]\frac{A}{(x+2)}+ \frac{B}{(x+3)}=\frac{A(x+3)+B(x+2)}{(x+3)(x+2)}=\frac{Ax+Bx+3A+2B}{(x+3)(x+2)}[/math]

Voglio però che il numeratore così ottenuto sia uguale a quello di partenza, quindi imposto

[math]A+B=1[/math]
, che è il coefficiente del polinomio che ho al mio numeratore, e
[math]3A+2B=1[/math]
, che è il suo termine noto, ottenendo
[math]A=-1[/math]
e
[math]B=2[/math]
.

Ora posso sostituirli e scrivere:

[math]\int \frac{x+1}{(x+2)(x+3)} dx =\int \frac{-1}{(x+2)} dx+ \int\frac{2}{(x+3)} dx = - ln |x+2| + 2 ln |x+3| + c.\\
[/math]

Ovviamente, gli esercizi in questo campo possono essere disparati e complessi, pertanto consigliamo al lettore di svolgere un gran numero di integrali e utilizzare questo appunto come guida per gli esercizi.

È bene osservare che una funzione può essere integrabile anche se non ne conosciamo una primitiva. Un tipico esempio è la campana di Gauss, cioè la funzione

[math]f(x)=e^{-x^2}[/math]
.
Vuoi approfondire Analisi Matematica – Esercizi, problemi e formule di Analisi Matematica con un insegnante esperto?
Trovalo su Ripetizioni.it